微积分学示例

$\int_{0.25}^{0.5} \frac{1}{\sqrt{25 - 16 x^{2}}} d x$

解题步骤 1

使用指数书写表达式。

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解题步骤 1.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\int_{0.25}^{0.5} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - 16 x^{2}}} d x$

解题步骤 1.2

将 $16 x^{2}$ 重写为 ${(4 x)}^{2}$ 。

$\int_{0.25}^{0.5} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - {(4 x)}^{2}}} d x$

解题步骤 2

使 $u = 4 x$ 。然后使 $d u = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 4 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1$

解题步骤 2.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = 4 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 4 \cdot 0.25$

解题步骤 2.3

将 $4$ 乘以 $0.25$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = 4 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 4 \cdot 0.5$

解题步骤 2.5

将 $4$ 乘以 $0.5$ 。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{4} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}} d u$

解题步骤 4

$\frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}}$ 对 $u$ 的积分为 $\arcsin (\frac{u}{5})$

$\frac{1}{4} \arcsin (\frac{u}{5})]_{1}^{2}$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\arcsin (\frac{u}{5})]_{1}^{2}$ 。

$\frac{\arcsin (\frac{u}{5})]_{1}^{2}}{4}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\arcsin (\frac{u}{5})$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{(\arcsin (\frac{2}{5})) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

解题步骤 6.2

约去 $2$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

将 $2$ 重写为 $1 (2)$ 。

$\frac{\arcsin (\frac{1 (2)}{5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $5$ 重写为 $1 (5)$ 。

$\frac{\arcsin (\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

解题步骤 6.2.2.2

约去公因数。

$\frac{\arcsin (\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

解题步骤 6.2.2.3

重写表达式。

$\frac{\arcsin (\frac{2}{5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

计算 $\arcsin (\frac{2}{5})$ 。

$\frac{0.41151684 - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

解题步骤 7.1.2

计算 $\arcsin (\frac{1}{5})$ 。

$\frac{0.41151684 - 1 \cdot 0.20135792}{4}$

解题步骤 7.1.3

将 $- 1$ 乘以 $0.20135792$ 。

$\frac{0.41151684 - 0.20135792}{4}$

解题步骤 7.1.4

从 $0.41151684$ 中减去 $0.20135792$ 。

$\frac{0.21015892}{4}$

解题步骤 7.2

用 $0.21015892$ 除以 $4$ 。

$0.05253973$

解题步骤 8

微积分学 示例

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