微积分学示例

$y = 25 - x^{2}$ ,

$[- 5, 5]$

解题步骤 1

将

$25$ 和

$- x^{2}$ 重新排序。

$y = - x^{2} + 25$

解题步骤 2

求导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则，

$- x^{2} + 25$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$

解题步骤 2.1.2

计算

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为

$- 1$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [25]$

解题步骤 2.1.2.3

将

$2$ 乘以

$- 1$ 。

$- 2 x + \frac{d}{d x} [25]$

$- 2 x + \frac{d}{d x} [25]$

解题步骤 2.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.3.1

因为

$25$ 对于

$x$ 是常数，所以

$25$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$- 2 x + 0$

解题步骤 2.1.3.2

将

$- 2 x$ 和

$0$ 相加。

$f' (x) = - 2 x$

$f' (x) = - 2 x$

$f' (x) = - 2 x$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对

$x$ 的一阶导数是

$- 2 x$ 。

$- 2 x$

$- 2 x$

解题步骤 3

判断导数在

$[- 5, 5]$ 上是否连续。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3.2

$f' (x)$ 在

$[- 5, 5]$ 上连续。

该函数连续。

该函数连续。

解题步骤 4

该函数在

$[- 5, 5]$ 上可微，因为其导数在

$[- 5, 5]$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 5

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$