微积分学示例

$y = 25 - x^{2}$ , $[- 5, 5]$

解题步骤 1

将 $25$ 和 $- x^{2}$ 重新排序。

$y = - x^{2} + 25$

解题步骤 2

求导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $- x^{2} + 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [25]$

解题步骤 2.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x + \frac{d}{d x} [25]$

解题步骤 2.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 x + 0$

解题步骤 2.1.3.2

将 $- 2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - 2 x$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 2 x$ 。

$- 2 x$

解题步骤 3

判断导数在 $[- 5, 5]$ 上是否连续。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3.2

$f' (x)$ 在 $[- 5, 5]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 4

该函数在 $[- 5, 5]$ 上可微，因为其导数在 $[- 5, 5]$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 5

微积分学 示例

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