微积分学示例

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ , $[0, 4]$

解题步骤 1

检验 $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ 是否连续。

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解题步骤 1.1

要求函数在 $[0, 4]$ 上是否连续，请求出 $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ 的定义域。

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解题步骤 1.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + 1$

解题步骤 1.1.2

将 $\sqrt{x^{3}}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x^{3} \geq 0$

解题步骤 1.1.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

解题步骤 1.1.3.2

化简方程。

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解题步骤 1.1.3.2.1

化简左边。

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解题步骤 1.1.3.2.1.1

从根式下提出各项。

$x \geq \sqrt[3]{0}$

解题步骤 1.1.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.2.2.1

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 1.1.3.2.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 1.1.3.2.2.1.2

从根式下提出各项。

$x \geq 0$

解题步骤 1.1.4

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 在 $[0, 4]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 2

检验 $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ 是否可微。

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解题步骤 2.1

求导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.2.1

因为 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.1.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.1.2.6

化简分子。

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解题步骤 2.1.1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.1.2.6.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.1.2.7

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.1.2.8

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.1.2.9

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.1.2.10

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.1.2.11

约去公因数。

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.1.2.12

用 $x^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.1.3.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + 0$

解题步骤 2.1.1.3.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.2

判断导数在 $[0, 4]$ 上是否连续。

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解题步骤 2.2.1

要求函数在 $[0, 4]$ 上是否连续，请求出 $f' (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 的定义域。

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解题步骤 2.2.1.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 2.2.1.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\sqrt{x^{1}}$

解题步骤 2.2.1.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\sqrt{x}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x \geq 0$

解题步骤 2.2.1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

解题步骤 2.2.2

$f' (x)$ 在 $[0, 4]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 2.3

该函数在 $[0, 4]$ 上可微，因为其导数在 $[0, 4]$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 3

为了确保弧长成立，函数自身及其导数在闭区间 $[0, 4]$ 上都必须为连续的。

函数及其导数在闭区间 $[0, 4]$ 上连续。

解题步骤 4

求 $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ 的导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.2.6

化简分子。

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解题步骤 4.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.2.6.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.2.7

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.2.8

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.2.9

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.2.10

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.2.11

约去公因数。

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.2.12

用 $x^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.3.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + 0$

解题步骤 4.3.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $0$ 相加。

$x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5

要求函数的弧长，请使用公式 $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ 。

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

解题步骤 6

计算积分。

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解题步骤 6.1

使 $u = 1 + x$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1.1

设 $u = 1 + x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

对 $1 + x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

解题步骤 6.1.1.2

根据加法法则， $1 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.1.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 6.1.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 6.1.2

将下限代入替换 $u = 1 + x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 + 0$

解题步骤 6.1.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 6.1.4

将上限代入替换 $u = 1 + x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 + 4$

解题步骤 6.1.5

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$u_{upper} = 5$

解题步骤 6.1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

解题步骤 6.1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{5} \sqrt{u} d u$

解题步骤 6.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 6.3

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

解题步骤 6.4

代入并化简。

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解题步骤 6.4.1

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $5$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.4.2

化简。

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解题步骤 6.4.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $5^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.4.2.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

解题步骤 6.4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

小数形式：

$6.78689325 \dots$

解题步骤 8

微积分学 示例

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