微积分学示例

$y = 2 x$ , $[3, 5]$

解题步骤 1

将 $y = 2 x$ 书写为一个函数。

$f (x) = 2 x$

解题步骤 2

求 $f (x) = 2 x$ 的导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 2.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 2$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2$ 。

$2$

解题步骤 3

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

$f' (x)$ 在 $[3, 5]$ 上连续。

$f' (x)$ 是连续的

解题步骤 5

函数 $f'$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 6

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{5 - 3} (\int_{3}^{5} 2 d x)$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$A (x) = \frac{1}{5 - 3} (2 x]_{3}^{5})$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $2 x$ 在 $5$ 处和在 $3$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{5 - 3} ((2 \cdot 5) - 2 \cdot 3)$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 3} (10 - 2 \cdot 3)$

解题步骤 8.2.2

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 3} (10 - 6)$

解题步骤 8.2.3

从 $10$ 中减去 $6$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 3} (4)$

解题步骤 9

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 4$

解题步骤 10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (2))$

解题步骤 10.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

解题步骤 10.3

重写表达式。

$A (x) = 2$

解题步骤 11

微积分学 示例

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