微积分学示例

$y = x^{2} - 3 x + 1$ , $[0, 2]$

解题步骤 1

将 $y = x^{2} - 3 x + 1$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{2} - 3 x + 1$

解题步骤 2

求 $f (x) = x^{2} - 3 x + 1$ 的导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $x^{2} - 3 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$2 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x - 3 + 0$

解题步骤 2.1.3.2

将 $2 x - 3$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 2 x - 3$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 x - 3$ 。

$2 x - 3$

解题步骤 3

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

$f' (x)$ 在 $[0, 2]$ 上连续。

$f' (x)$ 是连续的

解题步骤 5

函数 $f'$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 6

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 2 x - 3 d x)$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

解题步骤 8

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

解题步骤 9

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

解题步骤 10

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

解题步骤 11

应用常数不变法则。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - 3 x]_{0}^{2})$

解题步骤 12

代入并化简。

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解题步骤 12.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + - 3 x]_{0}^{2})$

解题步骤 12.2

计算 $- 3 x$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

解题步骤 12.3

化简。

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解题步骤 12.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

解题步骤 12.3.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

解题步骤 12.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 12.3.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

解题步骤 12.3.2.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

解题步骤 12.3.2.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

解题步骤 12.3.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

解题步骤 12.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

解题步骤 12.3.4

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.4.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 (0)}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

解题步骤 12.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 12.3.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

解题步骤 12.3.4.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

解题步骤 12.3.4.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0}{1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

解题步骤 12.3.4.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - 0) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

解题步骤 12.3.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 + 0) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

解题步骤 12.3.6

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 \cdot 2 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

解题步骤 12.3.7

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

解题步骤 12.3.8

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 6 + 3 \cdot 0)$

解题步骤 12.3.9

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 6 + 0)$

解题步骤 12.3.10

将 $- 6$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 6)$

解题步骤 12.3.11

从 $4$ 中减去 $6$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 2)$

解题步骤 13

化简分母。

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解题步骤 13.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot - 2$

解题步骤 13.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot - 2$

解题步骤 14

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))$

解题步骤 14.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

解题步骤 14.3

重写表达式。

$A (x) = - 1$

解题步骤 15

微积分学 示例

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