微积分学示例

$y = \sqrt{2 x}$ , $(2, 8)$

解题步骤 1

将 $y = \sqrt{2 x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sqrt{2 x}$

解题步骤 2

求 $f (x) = \sqrt{2 x}$ 的导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x}$ 重写成 ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.1.1.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.1.1.3

对 $2 (x)$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.1.2

因为 $2^{\frac{1}{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 2.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 2.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 2.1.6

在公分母上合并分子。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 2.1.7

化简分子。

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解题步骤 2.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 2.1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 2.1.8

将负号移到分数的前面。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 2.1.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 2.1.10

组合 $2^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 2.1.11

化简表达式。

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解题步骤 2.1.11.1

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $2^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.11.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.12

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.12.1

将 $2$ 乘以 $2^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.12.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.12.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.12.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.12.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.12.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3

要求函数的平均值，该函数应在闭区间 $[a, b]$ 上连续。要求 $f' (x)$ 在 $[2, 8]$ 上是否连续，需要求出 $f' (x) = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ 的定义域。

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解题步骤 3.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 3.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{1}{\sqrt{2^{1}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.1.2

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{1}{\sqrt{2^{1}} \sqrt{x^{1}}}$

解题步骤 3.1.3

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x^{1}}}$

解题步骤 3.1.4

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}}$

解题步骤 3.2

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x \geq 0$

解题步骤 3.3

将 $\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{2} \sqrt{x} = 0$

解题步骤 3.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(\sqrt{2} \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.4.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

化简 ${(\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

对 $\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${\sqrt{2}}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.4.2.2.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2^{\frac{2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.2.4.1

约去公因数。

$2^{\frac{2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2.4.2

重写表达式。

$2^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2.5

计算指数。

$2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.4.2.2.1.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 3.4.2.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 3.4.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$2 x^{1} = 0^{2}$

解题步骤 3.4.2.2.1.4

化简。

$2 x = 0^{2}$

解题步骤 3.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$2 x = 0$

解题步骤 3.4.3

将 $2 x = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.4.3.1

将 $2 x = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 3.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 3.4.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{2}$

解题步骤 3.4.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.5

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(0, \infty)$

集合符号：

${x | x > 0}$

区间计数法：

$(0, \infty)$

集合符号：

${x | x > 0}$

解题步骤 4

$f' (x)$ 在 $[2, 8]$ 上连续。

$f' (x)$ 是连续的

解题步骤 5

函数 $f'$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 6

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\int_{2}^{8} \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} d x)$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

解题步骤 8

应用指数的基本规则。

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解题步骤 8.1

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x)$

解题步骤 8.2

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x)$

解题步骤 8.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} x^{\frac{- 1}{2}} d x)$

解题步骤 8.2.3

将负号移到分数的前面。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} x^{- \frac{1}{2}} d x)$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}]_{2}^{8})$

解题步骤 10

代入并化简。

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解题步骤 10.1

计算 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 在 $8$ 处和在 $2$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.2

将 ${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 10.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 2^{3 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.2.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{1 + \frac{3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.5

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{2 + 3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.6

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.7

提取负因数。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}})))$

解题步骤 10.2.8

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}})))$

解题步骤 10.2.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{1 + \frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.10

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.11

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{\frac{2 + 1}{2}}))$

解题步骤 10.2.12

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot 2^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 11.2

约去 $2^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1

从 $2^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{4}{2}}) + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 11.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{4}{2}}) + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 11.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 11.3

约去 $2^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.1

从 $- 2^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} (- 2^{\frac{2}{2}})))$

解题步骤 11.3.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} (- 2^{\frac{2}{2}})))$

解题步骤 11.3.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} - 2^{\frac{2}{2}})$

解题步骤 11.4

化简每一项。

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解题步骤 11.4.1

用 $4$ 除以 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{2} - 2^{\frac{2}{2}})$

解题步骤 11.4.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 2^{\frac{2}{2}})$

解题步骤 11.4.3

用 $2$ 除以 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 2)$

解题步骤 11.4.4

计算指数。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 1 \cdot 2)$

解题步骤 11.4.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 2)$

解题步骤 11.5

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2)$

解题步骤 12

从 $8$ 中减去 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 2$

解题步骤 13

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot 2$

解题步骤 13.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot 2$

解题步骤 13.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{3}$

解题步骤 14

微积分学 示例

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