微积分学示例

$f (x) = \frac{2 x}{3} + 3 x$ , $- 1 < x < - 0$

解题步骤 1

求 $f (x) = \frac{2 x}{3} + 3 x$ 的导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $\frac{2 x}{3} + 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3} + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2}{3} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2}{3} + 3 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3} + 3$

解题步骤 1.1.4

合并项。

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解题步骤 1.1.4.1

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 1.1.4.2

组合 $3$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

解题步骤 1.1.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 + 3 \cdot 3}{3}$

解题步骤 1.1.4.4

化简分子。

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解题步骤 1.1.4.4.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 + 9}{3}$

解题步骤 1.1.4.4.2

将 $2$ 和 $9$ 相加。

$f' (x) = \frac{11}{3}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{11}{3}$ 。

$\frac{11}{3}$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

$f' (x)$ 在 $[- 1, 0]$ 上连续。

$f' (x)$ 是连续的

解题步骤 4

函数 $f'$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 5

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (\int_{- 1}^{0} \frac{11}{3} d x)$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (\frac{11}{3} x]_{- 1}^{0})$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $\frac{11}{3} x$ 在 $0$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} ((\frac{11}{3} \cdot 0) - \frac{11}{3} \cdot - 1)$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $\frac{11}{3}$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (0 - \frac{11}{3} \cdot - 1)$

解题步骤 7.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (0 + 1 (\frac{11}{3}))$

解题步骤 7.2.3

将 $\frac{11}{3}$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (0 + \frac{11}{3})$

解题步骤 7.2.4

将 $0$ 和 $\frac{11}{3}$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (\frac{11}{3})$

解题步骤 8

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{11}{3}$

解题步骤 9

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 9.1

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{11}{3}$

解题步骤 9.2

重写表达式。

$A (x) = 1 \cdot \frac{11}{3}$

解题步骤 10

将 $\frac{11}{3}$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{11}{3}$

解题步骤 11

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