微积分学示例

$y = \frac{3}{x - 2}$ , $[4, 7]$

解题步骤 1

将 $y = \frac{3}{x - 2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{3}{x - 2}$

解题步骤 2

要求函数的平均值，该函数应在闭区间 $[a, b]$ 上连续。要求 $f (x)$ 在 $[4, 7]$ 上是否连续，需要求出 $f (x) = \frac{3}{x - 2}$ 的定义域。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $\frac{3}{x - 2}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 2}$

区间计数法：

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 2}$

解题步骤 3

$f (x)$ 在 $[4, 7]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 4

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 5

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (\int_{4}^{7} \frac{3}{x - 2} d x)$

解题步骤 6

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{4}^{7} \frac{1}{x - 2} d x)$

解题步骤 7

使 $u = x - 2$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

设 $u = x - 2$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.1

对 $x - 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 7.1.2

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 7.1.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 7.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 7.2

将下限代入替换 $u = x - 2$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 4 - 2$

解题步骤 7.3

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$u_{lower} = 2$

解题步骤 7.4

将上限代入替换 $u = x - 2$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 7 - 2$

解题步骤 7.5

从 $7$ 中减去 $2$ 。

$u_{upper} = 5$

解题步骤 7.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 5$

解题步骤 7.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{2}^{5} \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 8

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 (\ln (| u |)]_{2}^{5}))$

解题步骤 9

计算 $\ln (| u |)$ 在 $5$ 处和在 $2$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 (\ln (| 5 |) - \ln (| 2 |)))$

解题步骤 10

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{| 5 |}{| 2 |}))$

解题步骤 11

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $5$ 之间的距离为 $5$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{5}{| 2 |}))$

解题步骤 11.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{5}{2}))$

解题步骤 12

从 $7$ 中减去 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{5}{2}))$

解题步骤 13

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

从 $3 \ln (\frac{5}{2})$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (\ln (\frac{5}{2})))$

解题步骤 13.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{5}{2}))$

解题步骤 13.3

重写表达式。

$A (x) = \ln (\frac{5}{2})$

解题步骤 14

微积分学 示例

微积分学示例