微积分学示例

$y = x^{2}$ , $(2, 5)$

解题步骤 1

将 $y = x^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{2}$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

$f (x)$ 在 $[2, 5]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 4

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 5

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{2} d x)$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5})$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $\frac{1}{3} x^{3}$ 在 $5$ 处和在 $2$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

解题步骤 7.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $125$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

解题步骤 7.2.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8)$

解题步骤 7.2.4

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - 8 (\frac{1}{3}))$

解题步骤 7.2.5

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} + \frac{- 8}{3})$

解题步骤 7.2.6

将负号移到分数的前面。

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{8}{3})$

解题步骤 7.2.7

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125 - 8}{3})$

解题步骤 7.2.8

从 $125$ 中减去 $8$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{117}{3})$

解题步骤 7.2.9

约去 $117$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.9.1

从 $117$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3})$

解题步骤 7.2.9.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.9.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3 (1)})$

解题步骤 7.2.9.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3 \cdot 1})$

解题步骤 7.2.9.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{39}{1})$

解题步骤 7.2.9.2.4

用 $39$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39)$

解题步骤 8

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 39$

解题步骤 9

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.1

从 $39$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (13))$

解题步骤 9.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 13)$

解题步骤 9.3

重写表达式。

$A (x) = 13$

解题步骤 10

微积分学 示例

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