微积分学示例

$y = \frac{3}{x - 2}$ , $[4, 7]$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{x - 2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$

解题步骤 1.1.1.2

将 $\frac{1}{x - 2}$ 重写为 ${(x - 2)}^{- 1}$ 。

$3 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{- 1}]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 2$ 。

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 ({(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

解题步骤 1.1.3.2

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 1.1.3.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (1 + 0)$

解题步骤 1.1.3.5

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.5.2

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 3 {(x - 2)}^{- 2}$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2

合并项。

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解题步骤 1.1.4.2.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ 。

$\frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ 。

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2

判断导数在 $[4, 7]$ 上是否连续。

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解题步骤 2.1

要求函数在 $[4, 7]$ 上是否连续，请求出 $f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1.1

将 $\frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 2.1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.1.2.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 2}$

区间计数法：

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 2}$

解题步骤 2.2

$f' (x)$ 在 $[4, 7]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 3

该函数在 $[4, 7]$ 上可微，因为其导数在 $[4, 7]$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 4

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