微积分学示例

$\frac{\sinh (x)}{e^{x}}$

解题步骤 1

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$

解题步骤 2.1.2

最终答案为 $\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$ 。

$\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$

$f (x) = \frac{\sinh (x)}{e^{x}}$

$f (x + h) = \frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$

$f (x) = \frac{\sinh (x)}{e^{x}}$

解题步骤 3

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}})}{h}$

解题步骤 4

合并项。

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解题步骤 4.1

要将 $\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e^{x}}{e^{x}}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}} \cdot \frac{e^{x}}{e^{x}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}})}{h}$

解题步骤 4.2

要将 $- (\frac{\sinh (x)}{e^{x}})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}} \cdot \frac{e^{x}}{e^{x}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}}) \cdot \frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}}{h}$

解题步骤 4.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $e^{x + h} e^{x}$ 的形式。

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解题步骤 4.3.1

将 $\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$ 乘以 $\frac{e^{x}}{e^{x}}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{x + h} e^{x}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}}) \cdot \frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}}{h}$

解题步骤 4.3.2

通过指数相加将 $e^{x + h}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{x + h + x}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}}) \cdot \frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}}{h}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{h + 2 x}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}}) \cdot \frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}}{h}$

解题步骤 4.3.3

将 $\frac{\sinh (x)}{e^{x}}$ 乘以 $\frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{h + 2 x}} - \frac{\sinh (x) e^{h + x}}{e^{x} e^{h + x}}}{h}$

解题步骤 4.3.4

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{h + x}$ 。

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解题步骤 4.3.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{h + 2 x}} - \frac{\sinh (x) e^{h + x}}{e^{x + h + x}}}{h}$

解题步骤 4.3.4.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{h + 2 x}} - \frac{\sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x}}}{h}$

解题步骤 4.4

在公分母上合并分子。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x}}}{h}$

解题步骤 5

化简极限自变量。

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解题步骤 5.1

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{h \to 0} \frac{\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x}} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 5.2

将 $\frac{\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x}}$ 乘以 $\frac{1}{h}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x} h}$

解题步骤 6

运用洛必达法则。

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解题步骤 6.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 6.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{h \to 0} \sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

解题步骤 6.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 6.1.2.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{h \to 0} \sinh (x + h) e^{x} - lim_{h \to 0} \sinh (x) e^{h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

解题步骤 6.1.2.2

因为项 $e^{x}$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \sinh (x + h) - lim_{h \to 0} \sinh (x) e^{h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

解题步骤 6.1.2.3

因为项 $\sinh (x)$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \sinh (x + h) - \sinh (x) lim_{h \to 0} e^{h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

解题步骤 6.1.2.4

将极限移入指数中。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \sinh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

解题步骤 6.1.2.5

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \sinh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

解题步骤 6.1.2.6

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \sinh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

解题步骤 6.1.2.7

将 $0$ 代入所有出现 $h$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1.2.7.1

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $\sinh (x + h)$ 的极限值。

$\frac{e^{x} \sinh (x + 0) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

解题步骤 6.1.2.7.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{e^{x} \sinh (x) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

解题步骤 6.1.2.7.3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{e^{x} \sinh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

解题步骤 6.1.2.8

合并 $e^{x} \sinh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}$ 中相反的项。

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解题步骤 6.1.2.8.1

将 $0$ 和 $x$ 相加。

$\frac{e^{x} \sinh (x) - \sinh (x) e^{x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

解题步骤 6.1.2.8.2

按照 $e^{x} \sinh (x)$ 和 $- \sinh (x) e^{x}$ 重新排列因数。

$\frac{e^{x} \sinh (x) - e^{x} \sinh (x)}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

解题步骤 6.1.2.8.3

从 $e^{x} \sinh (x)$ 中减去 $e^{x} \sinh (x)$ 。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

解题步骤 6.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 6.1.3.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} \cdot lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 6.1.3.2

将极限移入指数中。

$\frac{0}{e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} \cdot lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 6.1.3.3

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{e^{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 x} \cdot lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 6.1.3.4

计算 $2 x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} \cdot lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 6.1.3.5

将 $0$ 代入所有出现 $h$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1.3.5.1

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{0}{e^{0 + 2 x} \cdot lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 6.1.3.5.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{0}{e^{0 + 2 x} \cdot 0}$

解题步骤 6.1.3.6

化简答案。

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解题步骤 6.1.3.6.1

将 $0$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{0}{e^{2 x} \cdot 0}$

解题步骤 6.1.3.6.2

将 $e^{2 x}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 6.1.3.6.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 6.1.3.7

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 6.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 6.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{h \to 0} \frac{\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x} h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

解题步骤 6.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 6.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

解题步骤 6.3.2

根据加法法则， $\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [\sinh (x + h) e^{x}] + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sinh (x + h) e^{x}] + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

解题步骤 6.3.3

计算 $\frac{d}{d h} [\sinh (x + h) e^{x}]$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

因为 $e^{x}$ 对于 $h$ 是常数，所以 $\sinh (x + h) e^{x}$ 对 $h$ 的导数是 $e^{x} \frac{d}{d h} [\sinh (x + h)]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \frac{d}{d h} [\sinh (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

解题步骤 6.3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 等于 $f' (g (h)) g' (h)$ ，其中 $f (h) = \sinh (h)$ 且 $g (h) = x + h$ 。

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解题步骤 6.3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x + h$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\frac{d}{d u_{1}} [\sinh (u_{1})] \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

解题步骤 6.3.3.2.2

$\sinh (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cosh (u_{1})$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (u_{1}) \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

解题步骤 6.3.3.2.3

使用 $x + h$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (x + h) \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

解题步骤 6.3.3.3

根据加法法则， $x + h$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

解题步骤 6.3.3.4

因为 $x$ 对于 $h$ 是常数，所以 $x$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

解题步骤 6.3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (x + h) (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

解题步骤 6.3.3.6

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (x + h) \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

解题步骤 6.3.3.7

将 $\cosh (x + h)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

解题步骤 6.3.4

计算 $\frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]$ 。

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解题步骤 6.3.4.1

因为 $- \sinh (x)$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- \sinh (x) e^{h + x}$ 对 $h$ 的导数是 $- \sinh (x) \frac{d}{d h} [e^{h + x}]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) \frac{d}{d h} [e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

解题步骤 6.3.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 等于 $f' (g (h)) g' (h)$ ，其中 $f (h) = e^{h}$ 且 $g (h) = h + x$ 。

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解题步骤 6.3.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $h + x$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d h} [h + x])}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

解题步骤 6.3.4.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d h} [h + x])}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

解题步骤 6.3.4.2.3

使用 $h + x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{h + x} \frac{d}{d h} [h + x])}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

解题步骤 6.3.4.3

根据加法法则， $h + x$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [x]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{h + x} (\frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [x]))}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

解题步骤 6.3.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{h + x} (1 + \frac{d}{d h} [x]))}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

解题步骤 6.3.4.5

因为 $x$ 对于 $h$ 是常数，所以 $x$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{h + x} (1 + 0))}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

解题步骤 6.3.4.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{h + x} \cdot 1)}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

解题步骤 6.3.4.7

将 $e^{h + x}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{h + x}}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

解题步骤 6.3.5

重新排序项。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

解题步骤 6.3.6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ 等于 $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ ，其中 $f (h) = e^{h + 2 x}$ 且 $g (h) = h$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [e^{h + 2 x}]}$

解题步骤 6.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [e^{h + 2 x}]}$

解题步骤 6.3.8

将 $e^{h + 2 x}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h \frac{d}{d h} [e^{h + 2 x}]}$

解题步骤 6.3.9

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 等于 $f' (g (h)) g' (h)$ ，其中 $f (h) = e^{h}$ 且 $g (h) = h + 2 x$ 。

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解题步骤 6.3.9.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $h + 2 x$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d h} [h + 2 x])}$

解题步骤 6.3.9.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{u} \frac{d}{d h} [h + 2 x])}$

解题步骤 6.3.9.3

使用 $h + 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{h + 2 x} \frac{d}{d h} [h + 2 x])}$

解题步骤 6.3.10

根据加法法则， $h + 2 x$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [2 x]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{h + 2 x} (\frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [2 x]))}$

解题步骤 6.3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{h + 2 x} (1 + \frac{d}{d h} [2 x]))}$

解题步骤 6.3.12

因为 $2 x$ 对于 $h$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{h + 2 x} (1 + 0))}$

解题步骤 6.3.13

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{h + 2 x} \cdot 1)}$

解题步骤 6.3.14

将 $e^{h + 2 x}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h e^{h + 2 x}}$

解题步骤 6.3.15

化简。

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解题步骤 6.3.15.1

重新排序项。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} h + e^{h + 2 x}}$

解题步骤 6.3.15.2

将 $e^{h + 2 x} h + e^{h + 2 x}$ 中的因式重新排序。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

解题步骤 7

计算极限值。

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解题步骤 7.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{h \to 0} e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

解题步骤 7.2

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{h \to 0} e^{x} \cosh (x + h) - lim_{h \to 0} e^{h + x} \sinh (x)}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

解题步骤 7.3

因为项 $e^{x}$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - lim_{h \to 0} e^{h + x} \sinh (x)}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

解题步骤 7.4

因为项 $\sinh (x)$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) lim_{h \to 0} e^{h + x}}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

解题步骤 7.5

将极限移入指数中。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

解题步骤 7.6

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} x}}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

解题步骤 7.7

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

解题步骤 7.8

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + lim_{h \to 0} e^{h + 2 x}}$

解题步骤 7.9

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} + lim_{h \to 0} e^{h + 2 x}}$

解题步骤 7.10

将极限移入指数中。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + lim_{h \to 0} e^{h + 2 x}}$

解题步骤 7.11

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 x} + lim_{h \to 0} e^{h + 2 x}}$

解题步骤 7.12

计算 $2 x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + lim_{h \to 0} e^{h + 2 x}}$

解题步骤 7.13

将极限移入指数中。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

解题步骤 7.14

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 x}}$

解题步骤 7.15

计算 $2 x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

解题步骤 8

将 $0$ 代入所有出现 $h$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 8.1

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $\cosh (x + h)$ 的极限值。

$\frac{e^{x} \cosh (x + 0) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

解题步骤 8.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

解题步骤 8.3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

解题步骤 8.4

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}}{0 \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

解题步骤 8.5

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

解题步骤 8.6

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{0 + 2 x}}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

将 $0$ 和 $x$ 相加。

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{x}}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{0 + 2 x}}$

解题步骤 9.1.2

从 $e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 9.1.2.1

从 $e^{x} \cosh (x)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (\cosh (x)) - \sinh (x) e^{x}}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{0 + 2 x}}$

解题步骤 9.1.2.2

从 $- \sinh (x) e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (\cosh (x)) + e^{x} (- \sinh (x))}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{0 + 2 x}}$

解题步骤 9.1.2.3

从 $e^{x} (\cosh (x)) + e^{x} (- \sinh (x))$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{0 + 2 x}}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

将 $0$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{0 \cdot e^{2 x} + e^{0 + 2 x}}$

解题步骤 9.2.2

将 $0$ 乘以 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{0 + e^{0 + 2 x}}$

解题步骤 9.2.3

将 $0$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{0 + e^{2 x}}$

解题步骤 9.2.4

将 $0$ 和 $e^{2 x}$ 相加。

$\frac{e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{e^{2 x}}$

解题步骤 9.3

约去 $e^{x}$ 和 $e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.1

从 $e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x)))}{e^{2 x}}$

解题步骤 9.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 9.3.2.2

约去公因数。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 9.3.2.3

重写表达式。

$\frac{e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{1}$

解题步骤 9.3.2.4

用 $e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x))$ 除以 $1$ 。

$e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x))$

解题步骤 9.4

运用分配律。

$e^{- x} \cosh (x) + e^{- x} (- \sinh (x))$

解题步骤 9.5

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- x} \cosh (x) - e^{- x} \sinh (x)$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例