微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{4 - x^{2}}$

解题步骤 1

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{1}{4 - {(x + h)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (x + h) = \frac{1}{2^{2} - {(x + h)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = x + h$ 。

$f (x + h) = \frac{1}{(2 + x + h) (2 - (x + h))}$

解题步骤 2.1.2.1.3

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$ 。

$\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$

$f (x) = \frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$

$f (x + h) = \frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$

$f (x) = \frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 3

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)} - (\frac{1}{(2 + x) (2 - x)})}{h}$

解题步骤 4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

要将 $\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)}}{h}$

解题步骤 4.1.2

要将 $- \frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x + h) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(2 + x + h) (2 - x - h) (2 + x) (2 - x)$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.1

将 $\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$ 乘以 $\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x + h) (2 - x - h) ((2 + x) (2 - x))} - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x + h) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $\frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$ 乘以 $\frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x + h) (2 - x - h) ((2 + x) (2 - x))} - \frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 - x) ((2 + x + h) (2 - x - h))}}{h}$

解题步骤 4.1.3.3

重新排序 $(2 + x + h) (2 - x - h) ((2 + x) (2 - x))$ 的因式。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)} - \frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 - x) ((2 + x + h) (2 - x - h))}}{h}$

解题步骤 4.1.3.4

重新排序 $(2 + x) (2 - x) ((2 + x + h) (2 - x - h))$ 的因式。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)} - \frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.4

在公分母上合并分子。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(2 + x) (2 - x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.1

使用 FOIL 方法展开 $(2 + x) (2 - x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.1.1

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (2 - x) + x (2 - x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.1.2

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.1.3

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.2.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.1.3

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - 2 x + 2 x - x \cdot x - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.2.1.5.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - 2 x + 2 x - x^{2} - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.2

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 + 0 - x^{2} - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.3

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} + (- 1 \cdot 2 - x - h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} + (- 2 - x - h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.5

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- 2 - x - h) (2 - x - h)$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 2 \cdot 2 - 2 (- x) - 2 (- h) - x \cdot 2 - x (- x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.6.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 - 2 (- x) - 2 (- h) - x \cdot 2 - x (- x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x - 2 (- h) - x \cdot 2 - x (- x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - x \cdot 2 - x (- x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x - x (- x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6.5

使用乘法的交换性质重写。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.6.6.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x - 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + 1 x^{2} - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6.8

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6.9

使用乘法的交换性质重写。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} - 1 \cdot (- 1 x h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6.10

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + 1 x h - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6.11

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6.12

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6.13

使用乘法的交换性质重写。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h - 1 \cdot (- 1 h x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6.14

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + 1 h x - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6.15

将 $h$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6.16

使用乘法的交换性质重写。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x - 1 \cdot (- 1 h \cdot h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6.17

通过指数相加将 $h$ 乘以 $h$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.6.17.1

移动 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x - 1 \cdot (- 1 (h \cdot h))}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6.17.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x - 1 \cdot (- 1 h^{2})}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6.18

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x + 1 h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6.19

将 $h^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.7

合并 $- 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x + h^{2}$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.7.1

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 h + 0 + x^{2} + x h - 2 h + h x + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.7.2

将 $- 4 + 2 h$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 h + x^{2} + x h - 2 h + h x + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.7.3

从 $2 h$ 中减去 $2 h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + x^{2} + x h + 0 + h x + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.7.4

将 $- 4 + x^{2} + x h$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + x^{2} + x h + h x + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.8

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.8.1

将 $h$ 和 $x$ 重新排序。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + x^{2} + x h + x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.8.2

将 $x h$ 和 $x h$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + x^{2} + 2 x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.9

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} + 0 + x^{2} + 2 x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.10

将 $- x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} + x^{2} + 2 x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.11

将 $- x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 + 2 x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.12

将 $0$ 和 $2 x h$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.13

从 $2 x h + h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.13.1

从 $2 x h$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (2 x) + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.13.2

从 $h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (2 x) + h (h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.13.3

从 $h (2 x) + h (h)$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (2 x + h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 x + h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3

约去 $h$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

约去公因数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 x + h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.2

重写表达式。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 x + h}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}$

解题步骤 5

因为项 $\frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} lim_{h \to 0} \frac{2 x + h}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$

解题步骤 6

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x + h}{lim_{h \to 0} (2 + x + h) (2 - x - h)}$

解题步骤 7

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} (2 + x + h) (2 - x - h)}$

解题步骤 8

计算 $2 x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} (2 + x + h) (2 - x - h)}$

解题步骤 9

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} 2 + x + h \cdot lim_{h \to 0} 2 - x - h}$

解题步骤 10

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} 2 - x - h}$

解题步骤 11

计算 $2$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(2 + lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} 2 - x - h}$

解题步骤 12

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(2 + x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} 2 - x - h}$

解题步骤 13

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(2 + x + lim_{h \to 0} h) \cdot (lim_{h \to 0} 2 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h)}$

解题步骤 14

计算 $2$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(2 + x + lim_{h \to 0} h) \cdot (2 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h)}$

解题步骤 15

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(2 + x + lim_{h \to 0} h) \cdot (2 - x - lim_{h \to 0} h)}$

解题步骤 16

将 $0$ 代入所有出现 $h$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.1

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + 0}{(2 + x + lim_{h \to 0} h) \cdot (2 - x - lim_{h \to 0} h)}$

解题步骤 16.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + 0}{(2 + x + 0) \cdot (2 - x - lim_{h \to 0} h)}$

解题步骤 16.3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + 0}{(2 + x + 0) \cdot (2 - x + 0)}$

解题步骤 17

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x}{(2 + x + 0) \cdot (2 - x + 0)}$

解题步骤 17.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.2.1

将 $2 + x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x}{(2 + x) (2 - x + 0)}$

解题步骤 17.2.2

将 $2 - x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x}{(2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 17.3

乘以 $\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x}{(2 + x) (2 - x)}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.3.1

将 $\frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$ 乘以 $\frac{2 x}{(2 + x) (2 - x)}$ 。

$\frac{2 x}{(2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x))}$

解题步骤 17.3.2

对 $2 + x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{1} (2 + x) (2 - x) (2 - x)}$

解题步骤 17.3.3

对 $2 + x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{1} {(2 + x)}^{1} (2 - x) (2 - x)}$

解题步骤 17.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{1 + 1} (2 - x) (2 - x)}$

解题步骤 17.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{2} (2 - x) (2 - x)}$

解题步骤 17.3.6

对 $2 - x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{2} ({(2 - x)}^{1} (2 - x))}$

解题步骤 17.3.7

对 $2 - x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{2} ({(2 - x)}^{1} {(2 - x)}^{1})}$

解题步骤 17.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{1 + 1}}$

解题步骤 17.3.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 18

微积分学 示例

微积分学示例