微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 4 x + \frac{32}{3}$

解题步骤 1

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot {(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

使用二项式定理。

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.1.2.1.2

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2} h) + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.1.2.1.3

化简。

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解题步骤 2.1.2.1.3.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2} h) + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.1.2.1.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.3.2.1

从 $3 x^{2} h$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (x^{2} h)) + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.1.2.1.3.2.2

约去公因数。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (x^{2} h)) + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.1.2.1.3.2.3

重写表达式。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.1.2.1.3.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.3.3.1

从 $3 x h^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + \frac{1}{3} \cdot (3 (x h^{2})) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.1.2.1.3.3.2

约去公因数。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + \frac{1}{3} \cdot (3 (x h^{2})) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.1.2.1.3.3.3

重写表达式。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.1.2.1.3.4

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $h^{3}$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.1.2.1.4

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - ((x + h) (x + h)) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.1.2.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.5.1

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x (x + h) + h (x + h)) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.1.2.1.5.2

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.1.2.1.5.3

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.1.2.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.2.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.6.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.1.2.1.6.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.1.2.1.6.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 2.1.2.1.6.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.1.2.1.6.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.1.2.1.7

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - (2 h x) - h^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.1.2.1.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 (h x) - h^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.1.2.1.9

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $\frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$ 。

$\frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.2

重新排序。

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解题步骤 2.2.1

将 $x^{2}$ 和 $h$ 重新排序。

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.2.2

将 $x$ 和 $h^{2}$ 重新排序。

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.2.3

移动 $- 4 x$ 。

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.2.4

移动 $- x^{2}$ 。

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} - 2 h x - h^{2} - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.2.5

移动 $- 2 h x$ 。

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.2.6

移动 $\frac{x^{3}}{3}$ 。

$h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.2.7

移动 $h x^{2}$ 。

$h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.2.8

将 $h^{2} x$ 和 $\frac{h^{3}}{3}$ 重新排序。

$\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$f (x + h) = \frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 4 x + \frac{32}{3}$

$f (x + h) = \frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 4 x + \frac{32}{3}$

解题步骤 3

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - (\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 4 x + \frac{32}{3})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - (- 4 x) - \frac{32}{3}}{h}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

乘以 $- - x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - \frac{x^{3}}{3} + 1 x^{2} - (- 4 x) - \frac{32}{3}}{h}$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - (- 4 x) - \frac{32}{3}}{h}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

解题步骤 4.1.3

从 $\frac{x^{3}}{3}$ 中减去 $\frac{x^{3}}{3}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} + 0 + x^{2} + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

解题步骤 4.1.4

将 $\frac{h^{3}}{3}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} + x^{2} + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

解题步骤 4.1.5

将 $- x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} + 0 + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

解题步骤 4.1.6

将 $\frac{h^{3}}{3}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

解题步骤 4.1.7

将 $- 4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + 0 + \frac{32}{3} - \frac{32}{3}}{h}$

解题步骤 4.1.8

将 $\frac{h^{3}}{3}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + \frac{32}{3} - \frac{32}{3}}{h}$

解题步骤 4.1.9

在公分母上合并分子。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + \frac{32 - 32}{3}}{h}$

解题步骤 4.1.10

从 $32$ 中减去 $32$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + \frac{0}{3}}{h}$

解题步骤 4.1.11

合并 $\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + \frac{0}{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 4.1.11.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + 0}{h}$

解题步骤 4.1.11.2

将 $\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.12

要将 $h^{2} x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x \cdot \frac{3}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.13

组合 $h^{2} x$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + \frac{h^{2} x \cdot 3}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.14

在公分母上合并分子。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3} + h^{2} x \cdot 3}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.15

化简分子。

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解题步骤 4.1.15.1

从 $h^{3} + h^{2} x \cdot 3$ 中分解出因数 $h^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.15.1.1

从 $h^{3}$ 中分解出因数 $h^{2}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} h + h^{2} x \cdot 3}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.15.1.2

从 $h^{2} x \cdot 3$ 中分解出因数 $h^{2}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} h + h^{2} (x \cdot 3)}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.15.1.3

从 $h^{2} h + h^{2} (x \cdot 3)$ 中分解出因数 $h^{2}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + x \cdot 3)}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.15.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + 3 x)}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.16

要将 $h x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + 3 x)}{3} + h x^{2} \cdot \frac{3}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.17

组合 $h x^{2}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + 3 x)}{3} + \frac{h x^{2} \cdot 3}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.18

在公分母上合并分子。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + 3 x) + h x^{2} \cdot 3}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.19

化简分子。

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解题步骤 4.1.19.1

从 $h^{2} (h + 3 x) + h x^{2} \cdot 3$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.19.1.1

从 $h^{2} (h + 3 x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h (h + 3 x)) + h (x^{2}) \cdot 3}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.19.1.2

从 $h x^{2} \cdot 3$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h (h + 3 x)) + h (x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.19.1.3

从 $h (h (h + 3 x)) + h (x^{2} \cdot 3)$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h (h + 3 x) + x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.19.2

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h (h) + h (3 x) + x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.19.3

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + h (3 x) + x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.19.4

使用乘法的交换性质重写。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.19.5

将 $3$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.20

要将 $- h^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{3} - h^{2} \cdot \frac{3}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.21

组合 $- h^{2}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{3} + \frac{- h^{2} \cdot 3}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.22

在公分母上合并分子。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) - h^{2} \cdot 3}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.23

化简分子。

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解题步骤 4.1.23.1

从 $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) - h^{2} \cdot 3$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.23.1.1

从 $- h^{2} \cdot 3$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h \cdot 3)}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.23.1.2

从 $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h \cdot 3)$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h \cdot 3)}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.23.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h)}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.24

要将 $- 2 h x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h)}{3} - 2 h x \cdot \frac{3}{3} - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.25

组合 $- 2 h x$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h)}{3} + \frac{- 2 h x \cdot 3}{3} - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.26

在公分母上合并分子。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) - 2 h x \cdot 3}{3} - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.27

化简分子。

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解题步骤 4.1.27.1

从 $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) - 2 h x \cdot 3$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.27.1.1

从 $- 2 h x \cdot 3$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) + h (- 2 x \cdot 3)}{3} - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.27.1.2

从 $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) + h (- 2 x \cdot 3)$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 2 x \cdot 3)}{3} - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.27.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x)}{3} - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.28

要将 $- 4 h$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x)}{3} - 4 h \cdot \frac{3}{3}}{h}$

解题步骤 4.1.29

组合 $- 4 h$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x)}{3} + \frac{- 4 h \cdot 3}{3}}{h}$

解题步骤 4.1.30

在公分母上合并分子。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x) - 4 h \cdot 3}{3}}{h}$

解题步骤 4.1.31

化简分子。

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解题步骤 4.1.31.1

从 $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x) - 4 h \cdot 3$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.31.1.1

从 $- 4 h \cdot 3$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x) + h (- 4 \cdot 3)}{3}}{h}$

解题步骤 4.1.31.1.2

从 $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x) + h (- 4 \cdot 3)$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 4 \cdot 3)}{3}}{h}$

解题步骤 4.1.31.2

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12)}{3}}{h}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12)}{3} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3

合并。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12) \cdot 1}{3 h}$

解题步骤 4.4

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

约去公因数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12) \cdot 1}{3 h}$

解题步骤 4.4.2

重写表达式。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12) \cdot 1}{3}$

解题步骤 4.5

将 $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12}{3}$

解题步骤 5

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12$

解题步骤 6

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{3} (lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 3 h x + lim_{h \to 0} 3 x^{2} - lim_{h \to 0} 3 h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

解题步骤 7

使用极限幂法则把 $h^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 3 h x + lim_{h \to 0} 3 x^{2} - lim_{h \to 0} 3 h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

解题步骤 8

因为项 $3 x$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3 x^{2} - lim_{h \to 0} 3 h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

解题步骤 9

计算 $3 x^{2}$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - lim_{h \to 0} 3 h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

解题步骤 10

因为项 $3$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

解题步骤 11

计算 $6 x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

解题步骤 12

计算 $12$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - 6 x - 1 \cdot 12)$

解题步骤 13

将 $0$ 代入所有出现 $h$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 13.1

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{1}{3} (0^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - 6 x - 1 \cdot 12)$

解题步骤 13.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{1}{3} (0^{2} + 3 x \cdot 0 + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - 6 x - 1 \cdot 12)$

解题步骤 13.3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{1}{3} (0^{2} + 3 x \cdot 0 + 3 x^{2} - 3 \cdot 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

解题步骤 14

化简答案。

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解题步骤 14.1

化简每一项。

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解题步骤 14.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{3} (0 + 3 x \cdot 0 + 3 x^{2} - 3 \cdot 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

解题步骤 14.1.2

乘以 $3 x \cdot 0$ 。

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解题步骤 14.1.2.1

将 $0$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} (0 + 0 x + 3 x^{2} - 3 \cdot 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

解题步骤 14.1.2.2

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$\frac{1}{3} (0 + 0 + 3 x^{2} - 3 \cdot 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

解题步骤 14.1.3

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{3} (0 + 0 + 3 x^{2} + 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

解题步骤 14.1.4

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$\frac{1}{3} (0 + 0 + 3 x^{2} + 0 - 6 x - 12)$

解题步骤 14.2

合并 $0 + 0 + 3 x^{2} + 0 - 6 x - 12$ 中相反的项。

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解题步骤 14.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3} (0 + 3 x^{2} + 0 - 6 x - 12)$

解题步骤 14.2.2

将 $0$ 和 $3 x^{2}$ 相加。

$\frac{1}{3} (3 x^{2} + 0 - 6 x - 12)$

解题步骤 14.2.3

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3} (3 x^{2} - 6 x - 12)$

解题步骤 14.3

运用分配律。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{1}{3} (- 6 x) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

解题步骤 14.4

化简。

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解题步骤 14.4.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 14.4.1.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3} (3 (x^{2})) + \frac{1}{3} (- 6 x) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

解题步骤 14.4.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{1}{3} (- 6 x) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

解题步骤 14.4.1.3

重写表达式。

$x^{2} + \frac{1}{3} (- 6 x) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

解题步骤 14.4.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 14.4.2.1

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{2} + \frac{1}{3} (3 (- 2 x)) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

解题步骤 14.4.2.2

约去公因数。

$x^{2} + \frac{1}{3} (3 (- 2 x)) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

解题步骤 14.4.2.3

重写表达式。

$x^{2} - 2 x + \frac{1}{3} \cdot - 12$

解题步骤 14.4.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 14.4.3.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{2} - 2 x + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 4))$

解题步骤 14.4.3.2

约去公因数。

$x^{2} - 2 x + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 4)$

解题步骤 14.4.3.3

重写表达式。

$x^{2} - 2 x - 4$

解题步骤 15

微积分学 示例

微积分学示例