微积分学示例

$f (x) = 5 x + 17$

解题步骤 1

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = 5 (x + h) + 17$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

运用分配律。

$f (x + h) = 5 x + 5 h + 17$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $5 x + 5 h + 17$ 。

$5 x + 5 h + 17$

解题步骤 2.2

将 $5 x$ 和 $5 h$ 重新排序。

$5 h + 5 x + 17$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$f (x + h) = 5 h + 5 x + 17$

$f (x) = 5 x + 17$

$f (x + h) = 5 h + 5 x + 17$

$f (x) = 5 x + 17$

解题步骤 3

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h + 5 x + 17 - (5 x + 17)}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h + 5 x + 17 - (5 x) - 1 \cdot 17}{h}$

解题步骤 4.1.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h + 5 x + 17 - 5 x - 1 \cdot 17}{h}$

解题步骤 4.1.3

将 $- 1$ 乘以 $17$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h + 5 x + 17 - 5 x - 17}{h}$

解题步骤 4.1.4

从 $5 x$ 中减去 $5 x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h + 0 + 17 - 17}{h}$

解题步骤 4.1.5

将 $5 h$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h + 17 - 17}{h}$

解题步骤 4.1.6

从 $17$ 中减去 $17$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h + 0}{h}$

解题步骤 4.1.7

将 $5 h$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h}{h}$

解题步骤 4.2

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

约去公因数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h}{h}$

解题步骤 4.2.2

用 $5$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5$

解题步骤 5

计算 $5$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$5$

解题步骤 6

微积分学 示例

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