微积分学示例

$f (x) = 4 x^{3} + 2 x^{2} + x - 1$

解题步骤 1

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = 4 {(x + h)}^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

去掉圆括号。

$f (x + h) = 4 {(x + h)}^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

解题步骤 2.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.2.1

使用二项式定理。

$f (x + h) = 4 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

解题步骤 2.1.2.2.2

运用分配律。

$f (x + h) = 4 x^{3} + 4 (3 x^{2} h) + 4 (3 x h^{2}) + 4 h^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

解题步骤 2.1.2.2.3

化简。

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解题步骤 2.1.2.2.3.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 (x^{2} h) + 4 (3 x h^{2}) + 4 h^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

解题步骤 2.1.2.2.3.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 (x^{2} h) + 12 (x h^{2}) + 4 h^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

解题步骤 2.1.2.2.4

去掉圆括号。

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

解题步骤 2.1.2.2.5

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 ((x + h) (x + h)) + x + h - 1$

解题步骤 2.1.2.2.6

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.6.1

运用分配律。

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x (x + h) + h (x + h)) + x + h - 1$

解题步骤 2.1.2.2.6.2

运用分配律。

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h - 1$

解题步骤 2.1.2.2.6.3

运用分配律。

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h - 1$

解题步骤 2.1.2.2.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.2.2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.2.7.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h - 1$

解题步骤 2.1.2.2.7.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h - 1$

解题步骤 2.1.2.2.7.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 2.1.2.2.7.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h - 1$

解题步骤 2.1.2.2.7.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h - 1$

解题步骤 2.1.2.2.8

运用分配律。

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} + x + h - 1$

解题步骤 2.1.2.2.9

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h - 1$

解题步骤 2.1.2.3

最终答案为 $4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h - 1$ 。

$4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h - 1$

解题步骤 2.2

重新排序。

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解题步骤 2.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h - 1$

解题步骤 2.2.2

移动 $x$ 。

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h - 1$

解题步骤 2.2.3

移动 $x$ 。

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + h + x - 1$

解题步骤 2.2.4

移动 $2 x^{2}$ 。

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 4 h x + 2 h^{2} + 2 x^{2} + h + x - 1$

解题步骤 2.2.5

移动 $4 h x$ 。

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

解题步骤 2.2.6

移动 $4 x^{3}$ 。

$12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

解题步骤 2.2.7

移动 $12 h x^{2}$ 。

$12 h^{2} x + 4 h^{3} + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

解题步骤 2.2.8

将 $12 h^{2} x$ 和 $4 h^{3}$ 重新排序。

$4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$f (x + h) = 4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

$f (x) = 4 x^{3} + 2 x^{2} + x - 1$

$f (x + h) = 4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

$f (x) = 4 x^{3} + 2 x^{2} + x - 1$

解题步骤 3

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - (4 x^{3} + 2 x^{2} + x - 1)}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - (4 x^{3}) - (2 x^{2}) - x + 1}{h}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - 4 x^{3} - (2 x^{2}) - x + 1}{h}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - 4 x^{3} - 2 x^{2} - x + 1}{h}$

解题步骤 4.1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - 4 x^{3} - 2 x^{2} - x + 1}{h}$

解题步骤 4.1.3

从 $4 x^{3}$ 中减去 $4 x^{3}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 + 0 - 2 x^{2} - x + 1}{h}$

解题步骤 4.1.4

将 $4 h^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - 2 x^{2} - x + 1}{h}$

解题步骤 4.1.5

从 $2 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h + x - 1 + 0 - x + 1}{h}$

解题步骤 4.1.6

将 $4 h^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h + x - 1 - x + 1}{h}$

解题步骤 4.1.7

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h + 0 - 1 + 1}{h}$

解题步骤 4.1.8

将 $4 h^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h - 1 + 1}{h}$

解题步骤 4.1.9

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h + 0}{h}$

解题步骤 4.1.10

将 $4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h}{h}$

解题步骤 4.1.11

从 $4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.11.1

从 $4 h^{3}$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h}{h}$

解题步骤 4.1.11.2

从 $12 h^{2} x$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h}{h}$

解题步骤 4.1.11.3

从 $12 h x^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + h (12 x^{2}) + 2 h^{2} + 4 h x + h}{h}$

解题步骤 4.1.11.4

从 $2 h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + h (12 x^{2}) + h (2 h) + 4 h x + h}{h}$

解题步骤 4.1.11.5

从 $4 h x$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + h (12 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) + h}{h}$

解题步骤 4.1.11.6

对 $h$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + h (12 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) + h}{h}$

解题步骤 4.1.11.7

从 $h^{1}$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + h (12 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) + h \cdot 1}{h}$

解题步骤 4.1.11.8

从 $h (4 h^{2}) + h (12 h x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x) + h (12 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) + h \cdot 1}{h}$

解题步骤 4.1.11.9

从 $h (4 h^{2} + 12 h x) + h (12 x^{2})$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) + h \cdot 1}{h}$

解题步骤 4.1.11.10

从 $h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2}) + h (2 h)$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h) + h (4 x) + h \cdot 1}{h}$

解题步骤 4.1.11.11

从 $h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h) + h (4 x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x) + h \cdot 1}{h}$

解题步骤 4.1.11.12

从 $h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x) + h \cdot 1$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x + 1)}{h}$

解题步骤 4.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x + 1)}{h}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x + 1$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x + 1$

解题步骤 4.2.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.1

移动 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 h^{2} + 12 x h + 12 x^{2} + 2 h + 4 x + 1$

解题步骤 4.2.2.2

移动 $2 h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 h^{2} + 12 x h + 12 x^{2} + 4 x + 2 h + 1$

解题步骤 4.2.2.3

移动 $4 h^{2}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 12 x h + 12 x^{2} + 4 h^{2} + 4 x + 2 h + 1$

解题步骤 4.2.2.4

将 $12 x h$ 和 $12 x^{2}$ 重新排序。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 12 x^{2} + 12 x h + 4 h^{2} + 4 x + 2 h + 1$

解题步骤 5

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{h \to 0} 12 x^{2} + lim_{h \to 0} 12 x h + lim_{h \to 0} 4 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

解题步骤 6

计算 $12 x^{2}$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$12 x^{2} + lim_{h \to 0} 12 x h + lim_{h \to 0} 4 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

解题步骤 7

因为项 $12 x$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 4 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

解题步骤 8

因为项 $4$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + 4 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

解题步骤 9

使用极限幂法则把 $h^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

解题步骤 10

计算 $4 x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

解题步骤 11

因为项 $2$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 x + 2 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1$

解题步骤 12

计算 $1$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 x + 2 lim_{h \to 0} h + 1$

解题步骤 13

将 $0$ 代入所有出现 $h$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 13.1

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$12 x^{2} + 12 x \cdot 0 + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 x + 2 lim_{h \to 0} h + 1$

解题步骤 13.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$12 x^{2} + 12 x \cdot 0 + 4 \cdot 0^{2} + 4 x + 2 lim_{h \to 0} h + 1$

解题步骤 13.3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$12 x^{2} + 12 x \cdot 0 + 4 \cdot 0^{2} + 4 x + 2 \cdot 0 + 1$

解题步骤 14

化简答案。

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解题步骤 14.1

化简每一项。

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解题步骤 14.1.1

乘以 $12 x \cdot 0$ 。

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解题步骤 14.1.1.1

将 $0$ 乘以 $12$ 。

$12 x^{2} + 0 x + 4 \cdot 0^{2} + 4 x + 2 \cdot 0 + 1$

解题步骤 14.1.1.2

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$12 x^{2} + 0 + 4 \cdot 0^{2} + 4 x + 2 \cdot 0 + 1$

解题步骤 14.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$12 x^{2} + 0 + 4 \cdot 0 + 4 x + 2 \cdot 0 + 1$

解题步骤 14.1.3

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$12 x^{2} + 0 + 0 + 4 x + 2 \cdot 0 + 1$

解题步骤 14.1.4

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$12 x^{2} + 0 + 0 + 4 x + 0 + 1$

解题步骤 14.2

合并 $12 x^{2} + 0 + 0 + 4 x + 0 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 14.2.1

将 $12 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$12 x^{2} + 0 + 4 x + 0 + 1$

解题步骤 14.2.2

将 $12 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$12 x^{2} + 4 x + 0 + 1$

解题步骤 14.2.3

将 $12 x^{2} + 4 x$ 和 $0$ 相加。

$12 x^{2} + 4 x + 1$

解题步骤 15

微积分学 示例

微积分学示例