微积分学示例

$f (x) = x^{4}$

解题步骤 1

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = {(x + h)}^{4}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

使用二项式定理。

$f (x + h) = x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$ 。

$x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

解题步骤 2.2

重新排序。

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解题步骤 2.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

解题步骤 2.2.2

移动 $x^{2}$ 。

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

解题步骤 2.2.3

移动 $x$ 。

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4}$

解题步骤 2.2.4

移动 $x^{4}$ 。

$4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + x^{4}$

解题步骤 2.2.5

移动 $4 h x^{3}$ 。

$6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + 4 h x^{3} + x^{4}$

解题步骤 2.2.6

移动 $6 h^{2} x^{2}$ 。

$4 h^{3} x + h^{4} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4}$

解题步骤 2.2.7

将 $4 h^{3} x$ 和 $h^{4}$ 重新排序。

$h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4}$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4}$

$f (x) = x^{4}$

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4}$

$f (x) = x^{4}$

解题步骤 3

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} - (x^{4})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

从 $x^{4}$ 中减去 $x^{4}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 0}{h}$

解题步骤 4.1.2

将 $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}}{h}$

解题步骤 4.1.3

从 $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

从 $h^{4}$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{3} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}}{h}$

解题步骤 4.1.3.2

从 $4 h^{3} x$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}}{h}$

解题步骤 4.1.3.3

从 $6 h^{2} x^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + 4 h x^{3}}{h}$

解题步骤 4.1.3.4

从 $4 h x^{3}$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3})}{h}$

解题步骤 4.1.3.5

从 $h (h^{3}) + h (4 h^{2} x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3})}{h}$

解题步骤 4.1.3.6

从 $h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2})$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3})}{h}$

解题步骤 4.1.3.7

从 $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3})$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3})}{h}$

解题步骤 4.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3})}{h}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}$

解题步骤 4.2.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.1

移动 $h^{2}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 x h^{2} + 6 h x^{2} + 4 x^{3}$

解题步骤 4.2.2.2

移动 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3}$

解题步骤 4.2.2.3

移动 $h^{3}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + h^{3}$

解题步骤 4.2.2.4

移动 $4 x h^{2}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x^{2} h + 4 x^{3} + 4 x h^{2} + h^{3}$

解题步骤 4.2.2.5

将 $6 x^{2} h$ 和 $4 x^{3}$ 重新排序。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 x^{3} + 6 x^{2} h + 4 x h^{2} + h^{3}$

解题步骤 5

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{h \to 0} 4 x^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} h + lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

解题步骤 6

计算 $4 x^{3}$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$4 x^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} h + lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

解题步骤 7

因为项 $6 x^{2}$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

解题步骤 8

因为项 $4 x$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

解题步骤 9

使用极限幂法则把 $h^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

解题步骤 10

使用极限幂法则把 $h^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3}$

解题步骤 11

将 $0$ 代入所有出现 $h$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 11.1

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 0 + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3}$

解题步骤 11.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 0 + 4 x \cdot 0^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3}$

解题步骤 11.3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 0 + 4 x \cdot 0^{2} + 0^{3}$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1

乘以 $6 x^{2} \cdot 0$ 。

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解题步骤 12.1.1.1

将 $0$ 乘以 $6$ 。

$4 x^{3} + 0 x^{2} + 4 x \cdot 0^{2} + 0^{3}$

解题步骤 12.1.1.2

将 $0$ 乘以 $x^{2}$ 。

$4 x^{3} + 0 + 4 x \cdot 0^{2} + 0^{3}$

解题步骤 12.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 x^{3} + 0 + 4 x \cdot 0 + 0^{3}$

解题步骤 12.1.3

乘以 $4 x \cdot 0$ 。

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解题步骤 12.1.3.1

将 $0$ 乘以 $4$ 。

$4 x^{3} + 0 + 0 x + 0^{3}$

解题步骤 12.1.3.2

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$4 x^{3} + 0 + 0 + 0^{3}$

解题步骤 12.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 x^{3} + 0 + 0 + 0$

解题步骤 12.2

合并 $4 x^{3} + 0 + 0 + 0$ 中相反的项。

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解题步骤 12.2.1

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3} + 0 + 0$

解题步骤 12.2.2

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3} + 0$

解题步骤 12.2.3

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3}$

解题步骤 13

微积分学 示例

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