微积分学示例

$f (x) = 2 \sqrt{x}$

解题步骤 1

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = 2 \sqrt{x + h}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

去掉圆括号。

$f (x + h) = 2 \sqrt{x + h}$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $2 \sqrt{x + h}$ 。

$2 \sqrt{x + h}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = 2 \sqrt{x + h}$

$f (x) = 2 \sqrt{x}$

$f (x + h) = 2 \sqrt{x + h}$

$f (x) = 2 \sqrt{x}$

解题步骤 3

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 \sqrt{x + h} - (2 \sqrt{x})}{h}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + h}$ 重写成 ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot (2 \sqrt{x})}{h}$

解题步骤 4.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot (2 x^{\frac{1}{2}})}{h}$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}}{h}$

解题步骤 4.4

从 $2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.4.1

从 $2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}}{h}$

解题步骤 4.4.2

从 $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2}})}{h}$

解题步骤 4.4.3

从 $2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 ({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}})}{h}$

解题步骤 5

因为 $\frac{2 ({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}})}{h}$ 的定义域中没有 $0$ 左侧的值，所以该极限不存在。

$不存在$

解题步骤 6

微积分学 示例

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