微积分学示例

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

解题步骤 1

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} e^{- (x + h)}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$f (x + h) = (x + h) (x + h) e^{- (x + h)}$

解题步骤 2.1.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

运用分配律。

$f (x + h) = (x (x + h) + h (x + h)) e^{- (x + h)}$

解题步骤 2.1.2.2.2

运用分配律。

$f (x + h) = (x \cdot x + x h + h (x + h)) e^{- (x + h)}$

解题步骤 2.1.2.2.3

运用分配律。

$f (x + h) = (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) e^{- (x + h)}$

解题步骤 2.1.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) e^{- (x + h)}$

解题步骤 2.1.2.3.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = (x^{2} + x h + h x + h^{2}) e^{- (x + h)}$

解题步骤 2.1.2.3.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 2.1.2.3.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$f (x + h) = (x^{2} + h x + h x + h^{2}) e^{- (x + h)}$

解题步骤 2.1.2.3.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$f (x + h) = (x^{2} + 2 h x + h^{2}) e^{- (x + h)}$

解题步骤 2.1.2.4

运用分配律。

$f (x + h) = (x^{2} + 2 h x + h^{2}) e^{- x - h}$

解题步骤 2.1.2.5

运用分配律。

$f (x + h) = x^{2} e^{- x - h} + 2 h x e^{- x - h} + h^{2} e^{- x - h}$

解题步骤 2.1.2.6

最终答案为 $x^{2} e^{- x - h} + 2 h x e^{- x - h} + h^{2} e^{- x - h}$ 。

$x^{2} e^{- x - h} + 2 h x e^{- x - h} + h^{2} e^{- x - h}$

解题步骤 2.2

重新排序。

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解题步骤 2.2.1

将 $- x$ 和 $- h$ 重新排序。

$x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- x - h} + h^{2} e^{- x - h}$

解题步骤 2.2.2

将 $- x$ 和 $- h$ 重新排序。

$x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- x - h}$

解题步骤 2.2.3

将 $- x$ 和 $- h$ 重新排序。

$x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x}$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$f (x + h) = x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x}$

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

$f (x + h) = x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x}$

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

解题步骤 3

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x} - (x^{2} e^{- x})}{h}$

解题步骤 4

去掉圆括号。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x} - x^{2} e^{- x}}{h}$

解题步骤 5

运用洛必达法则。

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解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{h \to 0} x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 5.1.2.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{h \to 0} x^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.2

因为项 $x^{2}$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{x^{2} lim_{h \to 0} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.3

将极限移入指数中。

$\frac{x^{2} e^{lim_{h \to 0} - h - x} + lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.4

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x} + lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.5

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.6

因为项 $2 x$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h e^{- h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.7

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot lim_{h \to 0} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.8

将极限移入指数中。

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} - h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.9

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.10

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.11

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} \cdot lim_{h \to 0} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.12

使用极限幂法则把 $h^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.13

将极限移入指数中。

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{lim_{h \to 0} - h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.14

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.15

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.16

计算 $x^{2} e^{- x}$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.17

将 $0$ 代入所有出现 $h$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1.2.17.1

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{x^{2} e^{0 - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.17.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{x^{2} e^{0 - x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.17.3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{x^{2} e^{0 - x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.17.4

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{x^{2} e^{0 - x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 0^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.17.5

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{x^{2} e^{0 - x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 0^{2} \cdot e^{0 - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.18

化简答案。

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解题步骤 5.1.2.18.1

合并 $x^{2} e^{0 - x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 0^{2} \cdot e^{0 - x} - x^{2} e^{- x}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.1.2.18.1.1

从 $0$ 中减去 $x$ 。

$\frac{x^{2} e^{- x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 0^{2} \cdot e^{0 - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.18.1.2

从 $0$ 中减去 $x$ 。

$\frac{x^{2} e^{- x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 0^{2} \cdot e^{0 - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.18.1.3

从 $0$ 中减去 $x$ 。

$\frac{x^{2} e^{- x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 0^{2} \cdot e^{- x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.18.1.4

从 $x^{2} e^{- x}$ 中减去 $x^{2} e^{- x}$ 。

$\frac{2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 0^{2} \cdot e^{- x} + 0}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.18.1.5

将 $2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 0^{2} \cdot e^{- x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 0^{2} \cdot e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.18.2

化简每一项。

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解题步骤 5.1.2.18.2.1

乘以 $2 x \cdot 0$ 。

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解题步骤 5.1.2.18.2.1.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0 x \cdot e^{- x} + 0^{2} \cdot e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.18.2.1.2

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$\frac{0 \cdot e^{- x} + 0^{2} \cdot e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.18.2.2

将 $0$ 乘以 $e^{- x}$ 。

$\frac{0 + 0^{2} \cdot e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.18.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0 + 0 \cdot e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.18.2.4

将 $0$ 乘以 $e^{- x}$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.2.18.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.1.3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 5.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x} - x^{2} e^{- x}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x} - x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x} - x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.2

根据加法法则， $x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x} - x^{2} e^{- x}$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [x^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3

计算 $\frac{d}{d h} [x^{2} e^{- h - x}]$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

因为 $x^{2}$ 对于 $h$ 是常数，所以 $x^{2} e^{- h - x}$ 对 $h$ 的导数是 $x^{2} \frac{d}{d h} [e^{- h - x}]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} \frac{d}{d h} [e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 等于 $f' (g (h)) g' (h)$ ，其中 $f (h) = e^{h}$ 且 $g (h) = - h - x$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- h - x$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d h} [- h - x]) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d h} [- h - x]) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.2.3

使用 $- h - x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{- h - x} \frac{d}{d h} [- h - x]) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.3

根据加法法则， $- h - x$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [- h] + \frac{d}{d h} [- x]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{- h - x} (\frac{d}{d h} [- h] + \frac{d}{d h} [- x])) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.4

因为 $- 1$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- h$ 对 $h$ 的导数是 $- \frac{d}{d h} [h]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{- h - x} (- \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- x])) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- x])) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.6

因为 $- x$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- x$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{- h - x} (- 1 + 0)) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.8

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{- h - x} \cdot - 1) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.9

将 $- 1$ 移到 $e^{- h - x}$ 的左侧。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- 1 \cdot e^{- h - x}) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.3.10

将 $- 1 e^{- h - x}$ 重写为 $- e^{- h - x}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.4

计算 $\frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}]$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

因为 $2 x$ 对于 $h$ 是常数，所以 $2 h x e^{- h - x}$ 对 $h$ 的导数是 $2 x \frac{d}{d h} [h e^{- h - x}]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x \frac{d}{d h} [h e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.4.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ 等于 $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ ，其中 $f (h) = h$ 且 $g (h) = e^{- h - x}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h \frac{d}{d h} [e^{- h - x}] + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 等于 $f' (g (h)) g' (h)$ ，其中 $f (h) = e^{h}$ 且 $g (h) = - h - x$ 。

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解题步骤 5.3.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- h - x$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d h} [- h - x]) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.4.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{u_{2}} \frac{d}{d h} [- h - x]) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.4.3.3

使用 $- h - x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} \frac{d}{d h} [- h - x]) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.4.4

根据加法法则， $- h - x$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [- h] + \frac{d}{d h} [- x]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} (\frac{d}{d h} [- h] + \frac{d}{d h} [- x])) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.4.5

因为 $- 1$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- h$ 对 $h$ 的导数是 $- \frac{d}{d h} [h]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} (- \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- x])) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- x])) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.4.7

因为 $- x$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- x$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + 0)) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.4.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + 0)) + e^{- h - x} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.4.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} (- 1 + 0)) + e^{- h - x} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.4.10

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} \cdot - 1) + e^{- h - x} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.4.11

将 $- 1$ 移到 $e^{- h - x}$ 的左侧。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- 1 \cdot e^{- h - x}) + e^{- h - x} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.4.12

将 $- 1 e^{- h - x}$ 重写为 $- e^{- h - x}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.4.13

将 $e^{- h - x}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.5

计算 $\frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}]$ 。

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解题步骤 5.3.5.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ 等于 $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ ，其中 $f (h) = h^{2}$ 且 $g (h) = e^{- h - x}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} \frac{d}{d h} [e^{- h - x}] + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.5.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 等于 $f' (g (h)) g' (h)$ ，其中 $f (h) = e^{h}$ 且 $g (h) = - h - x$ 。

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解题步骤 5.3.5.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $- h - x$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d h} [- h - x]) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.5.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 等于 $a^{u_{3}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{u_{3}} \frac{d}{d h} [- h - x]) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.5.2.3

使用 $- h - x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} \frac{d}{d h} [- h - x]) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.5.3

根据加法法则， $- h - x$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [- h] + \frac{d}{d h} [- x]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} (\frac{d}{d h} [- h] + \frac{d}{d h} [- x])) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.5.4

因为 $- 1$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- h$ 对 $h$ 的导数是 $- \frac{d}{d h} [h]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} (- \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- x])) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.5.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- x])) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.5.6

因为 $- x$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- x$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + 0)) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.5.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + 0)) + e^{- h - x} (2 h) + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.5.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} (- 1 + 0)) + e^{- h - x} (2 h) + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.5.9

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} \cdot - 1) + e^{- h - x} (2 h) + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.5.10

将 $- 1$ 移到 $e^{- h - x}$ 的左侧。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (- 1 \cdot e^{- h - x}) + e^{- h - x} (2 h) + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.5.11

将 $- 1 e^{- h - x}$ 重写为 $- e^{- h - x}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (- e^{- h - x}) + e^{- h - x} (2 h) + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.6

因为 $- x^{2} e^{- x}$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- x^{2} e^{- x}$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (- e^{- h - x}) + e^{- h - x} (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.7

化简。

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解题步骤 5.3.7.1

运用分配律。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x})) + 2 x e^{- h - x} + h^{2} (- e^{- h - x}) + e^{- h - x} (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.7.2

合并项。

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解题步骤 5.3.7.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) - 2 x (h (e^{- h - x})) + 2 x e^{- h - x} + h^{2} (- e^{- h - x}) + e^{- h - x} (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.7.2.2

将 $x^{2} (- e^{- h - x}) - 2 x (h (e^{- h - x})) + 2 x e^{- h - x} + h^{2} (- e^{- h - x}) + e^{- h - x} (2 h)$ 和 $0$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) - 2 x (h (e^{- h - x})) + 2 x e^{- h - x} + h^{2} (- e^{- h - x}) + e^{- h - x} (2 h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.7.3

重新排序项。

$lim_{h \to 0} \frac{- e^{- h - x} x^{2} - 2 e^{- h - x} h x + 2 e^{- h - x} x - e^{- h - x} h^{2} + 2 e^{- h - x} h}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.7.4

将 $- e^{- h - x} x^{2} - 2 e^{- h - x} h x + 2 e^{- h - x} x - e^{- h - x} h^{2} + 2 e^{- h - x} h$ 中的因式重新排序。

$lim_{h \to 0} \frac{- x^{2} e^{- h - x} - 2 h x e^{- h - x} + 2 x e^{- h - x} - h^{2} e^{- h - x} + 2 h e^{- h - x}}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 5.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{- x^{2} e^{- h - x} - 2 h x e^{- h - x} + 2 x e^{- h - x} - h^{2} e^{- h - x} + 2 h e^{- h - x}}{1}$

解题步骤 5.4

用 $- x^{2} e^{- h - x} - 2 h x e^{- h - x} + 2 x e^{- h - x} - h^{2} e^{- h - x} + 2 h e^{- h - x}$ 除以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} - x^{2} e^{- h - x} - 2 h x e^{- h - x} + 2 x e^{- h - x} - h^{2} e^{- h - x} + 2 h e^{- h - x}$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- lim_{h \to 0} x^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

解题步骤 6.2

因为项 $x^{2}$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- x^{2} lim_{h \to 0} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

解题步骤 6.3

将极限移入指数中。

$- x^{2} e^{lim_{h \to 0} - h - x} - lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

解题步骤 6.4

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x} - lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

解题步骤 6.5

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

解题步骤 6.6

因为项 $2 x$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

解题步骤 6.7

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot lim_{h \to 0} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

解题步骤 6.8

将极限移入指数中。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} - h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

解题步骤 6.9

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

解题步骤 6.10

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

解题步骤 6.11

因为项 $2 x$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

解题步骤 6.12

将极限移入指数中。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{lim_{h \to 0} - h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

解题步骤 6.13

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

解题步骤 6.14

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

解题步骤 6.15

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} \cdot lim_{h \to 0} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

解题步骤 6.16

使用极限幂法则把 $h^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

解题步骤 6.17

将极限移入指数中。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{lim_{h \to 0} - h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

解题步骤 6.18

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

解题步骤 6.19

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

解题步骤 6.20

因为项 $2$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 lim_{h \to 0} h e^{- h - x}$

解题步骤 6.21

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

解题步骤 6.22

将极限移入指数中。

解题步骤 6.23

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

解题步骤 6.24

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

解题步骤 7

将 $0$ 代入所有出现 $h$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 7.1

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x}$

解题步骤 7.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x}$

解题步骤 7.3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x}$

解题步骤 7.4

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{0 - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x}$

解题步骤 7.5

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{0 - x} - 0^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x}$

解题步骤 7.6

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{0 - x} - 0^{2} \cdot e^{0 - x} + 2 lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x}$

解题步骤 7.7

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{0 - x} - 0^{2} \cdot e^{0 - x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x}$

解题步骤 7.8

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{0 - x} - 0^{2} \cdot e^{0 - x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0 - x}$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

合并 $- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{0 - x} - 0^{2} \cdot e^{0 - x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0 - x}$ 中相反的项。

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解题步骤 8.1.1

从 $0$ 中减去 $x$ 。

$- x^{2} e^{- x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{0 - x} - 0^{2} \cdot e^{0 - x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0 - x}$

解题步骤 8.1.2

从 $0$ 中减去 $x$ 。

$- x^{2} e^{- x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 2 x e^{0 - x} - 0^{2} \cdot e^{0 - x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0 - x}$

解题步骤 8.1.3

从 $0$ 中减去 $x$ 。

$- x^{2} e^{- x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 2 x e^{- x} - 0^{2} \cdot e^{0 - x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0 - x}$

解题步骤 8.1.4

从 $0$ 中减去 $x$ 。

$- x^{2} e^{- x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 2 x e^{- x} - 0^{2} \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0 - x}$

解题步骤 8.1.5

从 $0$ 中减去 $x$ 。

$- x^{2} e^{- x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 2 x e^{- x} - 0^{2} \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

解题步骤 8.2

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- x^{2} e^{- x} - 2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 2 x e^{- x} - 0^{2} \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

解题步骤 8.2.2

乘以 $- 2 x \cdot 0$ 。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $0$ 乘以 $- 2$ 。

$- x^{2} e^{- x} + 0 x \cdot e^{- x} + 2 x e^{- x} - 0^{2} \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

解题步骤 8.2.2.2

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$- x^{2} e^{- x} + 0 \cdot e^{- x} + 2 x e^{- x} - 0^{2} \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

解题步骤 8.2.3

将 $0$ 乘以 $e^{- x}$ 。

$- x^{2} e^{- x} + 0 + 2 x e^{- x} - 0^{2} \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

解题步骤 8.2.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- x^{2} e^{- x} + 0 + 2 x e^{- x} - 0 \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

解题步骤 8.2.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- x^{2} e^{- x} + 0 + 2 x e^{- x} + 0 \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

解题步骤 8.2.6

将 $0$ 乘以 $e^{- x}$ 。

$- x^{2} e^{- x} + 0 + 2 x e^{- x} + 0 + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

解题步骤 8.2.7

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$- x^{2} e^{- x} + 0 + 2 x e^{- x} + 0 + 0 \cdot e^{- x}$

解题步骤 8.2.8

将 $0$ 乘以 $e^{- x}$ 。

$- x^{2} e^{- x} + 0 + 2 x e^{- x} + 0 + 0$

解题步骤 8.3

合并 $- x^{2} e^{- x} + 0 + 2 x e^{- x} + 0 + 0$ 中相反的项。

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解题步骤 8.3.1

将 $- x^{2} e^{- x}$ 和 $0$ 相加。

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 0 + 0$

解题步骤 8.3.2

将 $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ 和 $0$ 相加。

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 0$

解题步骤 8.3.3

将 $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ 和 $0$ 相加。

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例