微积分学示例

$f (x) = \frac{27 - 6 x - x^{2}}{x - 3}$

解题步骤 1

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{27 - 6 (x + h) - {(x + h)}^{2}}{(x + h) - 3}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.1.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.1.2.1.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 27 = - 27$ 并且它们的和为 $b = - 6$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.1.1.1

重新排序项。

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + 27 - 6 (x + h)}{x + h - 3}$

解题步骤 2.1.2.1.1.1.2

将 $27$ 和 $- 6 (x + h)$ 重新排序。

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} - 6 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

解题步骤 2.1.2.1.1.1.3

把 $- 6$ 重写为 $3$ 加 $- 9$

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + (3 - 9) (x + h) + 27}{x + h - 3}$

解题步骤 2.1.2.1.1.1.4

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + 3 (x + h) - 9 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

解题步骤 2.1.2.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$f (x + h) = \frac{(- {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)) - 9 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

解题步骤 2.1.2.1.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$f (x + h) = \frac{(x + h) (- (x + h) + 3) + 9 (- (x + h) + 3)}{x + h - 3}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3

通过因式分解出最大公因数 $- (x + h) + 3$ 来因式分解多项式。

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

解题步骤 2.1.2.1.2

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{(- x - h + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

解题步骤 2.1.2.2

化简项。

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解题步骤 2.1.2.2.1

约去 $- x - h + 3$ 和 $x + h - 3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.1.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (x + h) = \frac{(- (x) - h + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

解题步骤 2.1.2.2.1.2

从 $- h$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (x + h) = \frac{(- (x) - (h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

解题步骤 2.1.2.2.1.3

从 $- (x) - (h)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

解题步骤 2.1.2.2.1.4

将 $3$ 重写为 $- 1 (- 3)$ 。

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1 \cdot - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

解题步骤 2.1.2.2.1.5

从 $- (x + h) - 1 (- 3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (x + h) = \frac{- (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

解题步骤 2.1.2.2.1.6

将 $- (x + h - 3)$ 重写为 $- 1 (x + h - 3)$ 。

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

解题步骤 2.1.2.2.1.7

约去公因数。

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

解题步骤 2.1.2.2.1.8

用 $- 1 (x + h + 9)$ 除以 $1$ 。

$f (x + h) = - 1 (x + h + 9)$

解题步骤 2.1.2.2.2

将 $- 1 (x + h + 9)$ 重写为 $- (x + h + 9)$ 。

$f (x + h) = - (x + h + 9)$

解题步骤 2.1.2.2.3

运用分配律。

$f (x + h) = - x - h - 1 \cdot 9$

解题步骤 2.1.2.2.4

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$f (x + h) = - x - h - 9$

解题步骤 2.1.2.3

最终答案为 $- x - h - 9$ 。

$- x - h - 9$

解题步骤 2.2

将 $- x$ 和 $- h$ 重新排序。

$- h - x - 9$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$f (x + h) = - h - x - 9$

$f (x) = - 9 - x$

$f (x + h) = - h - x - 9$

$f (x) = - 9 - x$

解题步骤 3

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 - (- 9 - x)}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

解题步骤 4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

解题步骤 4.1.3

乘以 $- - x$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + 1 x}{h}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

解题步骤 4.1.4

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h + 0 - 9 + 9}{h}$

解题步骤 4.1.5

将 $- h$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - 9 + 9}{h}$

解题步骤 4.1.6

将 $- 9$ 和 $9$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h + 0}{h}$

解题步骤 4.1.7

将 $- h$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{h}$

解题步骤 4.2

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

约去公因数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{h}$

解题步骤 4.2.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 1$

解题步骤 5

计算 $- 1$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- 1$

解题步骤 6

微积分学 示例

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