微积分学示例

$f (x) = \frac{4 x - 2 x^{2} + 6}{2 x}$

解题步骤 1

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{4 (x + h) - 2 {(x + h)}^{2} + 6}{2 (x + h)}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

约去 $4 (x + h) - 2 {(x + h)}^{2} + 6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.1

从 $4 (x + h)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) - 2 {(x + h)}^{2} + 6}{2 (x + h)}$

解题步骤 2.1.2.1.2

从 $- 2 {(x + h)}^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) + 2 (- {(x + h)}^{2}) + 6}{2 (x + h)}$

解题步骤 2.1.2.1.3

从 $2 (2 (x + h)) + 2 (- {(x + h)}^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2}) + 6}{2 (x + h)}$

解题步骤 2.1.2.1.4

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2}) + 2 \cdot 3}{2 (x + h)}$

解题步骤 2.1.2.1.5

从 $2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2}) + 2 (3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2} + 3)}{2 (x + h)}$

解题步骤 2.1.2.1.6

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.6.1

约去公因数。

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2} + 3)}{2 (x + h)}$

解题步骤 2.1.2.1.6.2

重写表达式。

$f (x + h) = \frac{2 (x + h) - {(x + h)}^{2} + 3}{x + h}$

解题步骤 2.1.2.2

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.2.1

使 $u = x + h$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x + h$ 。

$f (x + h) = \frac{2 u - u^{2} + 3}{x + h}$

解题步骤 2.1.2.2.2

分组因式分解。

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解题步骤 2.1.2.2.2.1

重新排序项。

$f (x + h) = \frac{- u^{2} + 2 u + 3}{x + h}$

解题步骤 2.1.2.2.2.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ 并且它们的和为 $b = 2$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.2.2.1

从 $2 u$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (x + h) = \frac{- u^{2} + 2 (u) + 3}{x + h}$

解题步骤 2.1.2.2.2.2.2

把 $2$ 重写为 $- 1$ 加 $3$

$f (x + h) = \frac{- u^{2} + (- 1 + 3) u + 3}{x + h}$

解题步骤 2.1.2.2.2.2.3

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{- u^{2} - 1 u + 3 u + 3}{x + h}$

解题步骤 2.1.2.2.2.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.2.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$f (x + h) = \frac{(- u^{2} - 1 u) + 3 u + 3}{x + h}$

解题步骤 2.1.2.2.2.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$f (x + h) = \frac{u (- u - 1) - 3 (- u - 1)}{x + h}$

解题步骤 2.1.2.2.2.4

通过因式分解出最大公因数 $- u - 1$ 来因式分解多项式。

$f (x + h) = \frac{(- u - 1) (u - 3)}{x + h}$

解题步骤 2.1.2.2.3

使用 $x + h$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

解题步骤 2.1.2.2.4

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{(- x - h - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

解题步骤 2.1.2.3

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.1.2.3.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (x + h) = \frac{(- (x) - h - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

解题步骤 2.1.2.3.2

从 $- h$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (x + h) = \frac{(- (x) - (h) - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

解题步骤 2.1.2.3.3

从 $- (x) - (h)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

解题步骤 2.1.2.3.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1 \cdot 1) (x + h - 3)}{x + h}$

解题步骤 2.1.2.3.5

从 $- (x + h) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (x + h) = \frac{- (x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

解题步骤 2.1.2.3.6

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.3.6.1

将 $- (x + h + 1)$ 重写为 $- 1 (x + h + 1)$ 。

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

解题步骤 2.1.2.3.6.2

将负号移到分数的前面。

$f (x + h) = - \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

解题步骤 2.1.2.4

最终答案为 $- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$ 。

$- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = - \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

$f (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$

$f (x + h) = - \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

$f (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$

解题步骤 3

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} - (- \frac{(x + 1) (x - 3)}{x})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

乘以 $- - \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} + 1 (\frac{(x + 1) (x - 3)}{x})}{h}$

解题步骤 4.1.1.2

将 $\frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}}{h}$

解题步骤 4.1.2

要将 $- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}}{h}$

解题步骤 4.1.3

要将 $\frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + h}{x + h}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

解题步骤 4.1.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + h) x$ 的形式。

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解题步骤 4.1.4.1

将 $\frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3) x}{(x + h) x} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

解题步骤 4.1.4.2

将 $\frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ 乘以 $\frac{x + h}{x + h}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3) x}{(x + h) x} + \frac{(x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.4.3

重新排序 $(x + h) x$ 的因式。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3) x}{x (x + h)} + \frac{(x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5

在公分母上合并分子。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (x + h + 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6

以因式分解的形式重写 $\frac{- (x + h + 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}$ 。

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解题步骤 4.1.6.1

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x - h - 1 \cdot 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x - h - 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.3

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- x - h - 1) (x + h - 3)$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x \cdot x - x h - x \cdot - 3 - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.4

化简每一项。

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解题步骤 4.1.6.4.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.6.4.1.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- (x \cdot x) - x h - x \cdot - 3 - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.4.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h - x \cdot - 3 - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.4.2

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.4.3

通过指数相加将 $h$ 乘以 $h$ 。

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解题步骤 4.1.6.4.3.1

移动 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - (h \cdot h) - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.4.3.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.4.4

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.4.5

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.4.6

将 $- 1 h$ 重写为 $- h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - x - h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.4.7

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - x - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.5

从 $- x h$ 中减去 $h x$ 。

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解题步骤 4.1.6.5.1

移动 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h - 1 x h + 3 x - h^{2} + 3 h - x - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.5.2

从 $- x h$ 中减去 $x h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - 2 x h + 3 x - h^{2} + 3 h - x - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.6

从 $3 x$ 中减去 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - 2 x h + 2 x - h^{2} + 3 h - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.7

从 $3 h$ 中减去 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - 2 x h + 2 x - h^{2} + 2 h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.8

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} x - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.9

化简。

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解题步骤 4.1.6.9.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.6.9.1.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (x \cdot x^{2}) - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.9.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.6.9.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (x \cdot x^{2}) - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.9.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{1 + 2} - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.9.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.9.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.6.9.2.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 (x \cdot x) h + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.9.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.9.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.6.9.3.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 (x \cdot x) - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.9.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.10

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x - 3)$ 。

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解题步骤 4.1.6.10.1

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x (x - 3) + 1 (x - 3)) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.10.2

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 (x - 3)) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.10.3

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.11

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1.6.11.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.6.11.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.11.1.2

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 3 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.11.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.11.1.4

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 3 x + x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.11.2

将 $- 3 x$ 和 $x$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 2 x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.12

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{2} - 2 x - 3) (x + h)$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2} x + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.13

化简每一项。

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解题步骤 4.1.6.13.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.6.13.1.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.6.13.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2} x + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.13.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2 + 1} + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.13.1.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{3} + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.13.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.6.13.2.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{3} + x^{2} h - 2 (x \cdot x) - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.13.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{3} + x^{2} h - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.14

将 $- x^{3}$ 和 $x^{3}$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + 0 + x^{2} h - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.15

将 $- 2 x^{2} h$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2} h - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.16

将 $- 2 x^{2} h$ 和 $x^{2} h$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.17

从 $2 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 2 h x + 3 x + 0 - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.18

将 $- x^{2} h$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 2 h x + 3 x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.19

从 $2 h x$ 中减去 $2 x h$ 。

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解题步骤 4.1.6.19.1

移动 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 3 x + 2 x h - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.19.2

从 $2 x h$ 中减去 $2 x h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 3 x + 0 - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.20

将 $- x^{2} h$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 3 x - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.21

从 $3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 0 - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.22

将 $- x^{2} h$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.23

从 $- x^{2} h - h^{2} x - 3 h$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.6.23.1

从 $- x^{2} h$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2}) - h^{2} x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.23.2

从 $- h^{2} x$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2}) + h (- h x) - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.23.3

从 $- 3 h$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2}) + h (- h x) + h \cdot - 3}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.23.4

从 $h (- x^{2}) + h (- h x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2} - h x) + h \cdot - 3}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.23.5

从 $h (- x^{2} - h x) + h \cdot - 3$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2} - h x - 3)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- x^{2} - h x - 3)}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3

合并。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- x^{2} - h x - 3) \cdot 1}{x (x + h) h}$

解题步骤 4.4

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

约去公因数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- x^{2} - h x - 3) \cdot 1}{x (x + h) h}$

解题步骤 4.4.2

重写表达式。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(- x^{2} - h x - 3) \cdot 1}{x (x + h)}$

解题步骤 4.5

将 $- x^{2} - h x - 3$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- x^{2} - h x - 3}{x (x + h)}$

解题步骤 4.6

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2}) - h x - 3}{x (x + h)}$

解题步骤 4.7

从 $- h x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2}) - (h x) - 3}{x (x + h)}$

解题步骤 4.8

从 $- (x^{2}) - (h x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2} + h x) - 3}{x (x + h)}$

解题步骤 4.9

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2} + h x) - 1 \cdot 3}{x (x + h)}$

解题步骤 4.10

从 $- (x^{2} + h x) - 1 (3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2} + h x + 3)}{x (x + h)}$

解题步骤 4.11

化简表达式。

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解题步骤 4.11.1

将 $- (x^{2} + h x + 3)$ 重写为 $- 1 (x^{2} + h x + 3)$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1 (x^{2} + h x + 3)}{x (x + h)}$

解题步骤 4.11.2

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{x^{2} + h x + 3}{x (x + h)}$

解题步骤 5

因为项 $- 1$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + h x + 3}{x (x + h)}$

解题步骤 6

因为项 $\frac{1}{x}$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + h x + 3}{x + h}$

解题步骤 7

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} + h x + 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

解题步骤 8

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} h x + lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

解题步骤 9

计算 $x^{2}$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + lim_{h \to 0} h x + lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

解题步骤 10

因为项 $x$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

解题步骤 11

计算 $3$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

解题步骤 12

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + 3}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 13

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + 3}{x + lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 14

将 $0$ 代入所有出现 $h$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 14.1

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x \cdot 0 + 3}{x + lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 14.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x \cdot 0 + 3}{x + 0}$

解题步骤 15

化简答案。

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解题步骤 15.1

化简分子。

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解题步骤 15.1.1

将 $x$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 0 + 3}{x + 0}$

解题步骤 15.1.2

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 3}{x + 0}$

解题步骤 15.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 3}{x}$

解题步骤 15.3

乘以 $- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 3}{x}$ 。

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解题步骤 15.3.1

将 $\frac{x^{2} + 3}{x}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$- \frac{x^{2} + 3}{x \cdot x}$

解题步骤 15.3.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{1} x}$

解题步骤 15.3.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{1} x^{1}}$

解题步骤 15.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{1 + 1}}$

解题步骤 15.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{2}}$

解题步骤 16

微积分学 示例

微积分学示例