微积分学示例

$y = \sin (x)$

解题步骤 1

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \sin (x + h)$

解题步骤 2.1.2

最终答案为 $\sin (x + h)$ 。

$\sin (x + h)$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \sin (x + h)$

$f (x) = \sin (x)$

$f (x + h) = \sin (x + h)$

$f (x) = \sin (x)$

解题步骤 3

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) - (\sin (x))}{h}$

解题步骤 4

运用洛必达法则。

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解题步骤 4.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 4.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (x + h) - (\sin (x))}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 4.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 4.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 4.1.2.1.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (x + h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 4.1.2.1.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{h \to 0} x + h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 4.1.2.1.3

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sin (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 4.1.2.1.4

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sin (x + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 4.1.2.1.5

计算 $\sin (x)$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sin (x + lim_{h \to 0} h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{\sin (x + 0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 4.1.2.3

合并 $\sin (x + 0) - \sin (x)$ 中相反的项。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sin (x) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 4.1.2.3.2

从 $\sin (x)$ 中减去 $\sin (x)$ 。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 4.1.3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 4.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 4.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) - (\sin (x))}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x + h) - (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 4.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 4.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x + h) - (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 4.3.2

根据加法法则， $\sin (x + h) - (\sin (x))$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [\sin (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 4.3.3

计算 $\frac{d}{d h} [\sin (x + h)]$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 等于 $f' (g (h)) g' (h)$ ，其中 $f (h) = \sin (h)$ 且 $g (h) = x + h$ 。

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解题步骤 4.3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + h$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 4.3.3.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 4.3.3.1.3

使用 $x + h$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 4.3.3.2

根据加法法则， $x + h$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 4.3.3.3

因为 $x$ 对于 $h$ 是常数，所以 $x$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 4.3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 4.3.3.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 4.3.3.6

将 $\cos (x + h)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 4.3.4

因为 $- \sin (x)$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 4.3.5

将 $\cos (x + h)$ 和 $0$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 4.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h)}{1}$

解题步骤 4.4

用 $\cos (x + h)$ 除以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \cos (x + h)$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\cos (lim_{h \to 0} x + h)$

解题步骤 5.2

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\cos (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)$

解题步骤 5.3

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\cos (x + lim_{h \to 0} h)$

解题步骤 6

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\cos (x + 0)$

解题步骤 7

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\cos (x)$

解题步骤 8

微积分学 示例

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