微积分学示例

$g (x) = \frac{x}{x - 1}$

解题步骤 1

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) - 1}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1

去掉圆括号。

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h - 1}$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $\frac{x + h}{x + h - 1}$ 。

$\frac{x + h}{x + h - 1}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h - 1}$

$f (x) = \frac{x}{x - 1}$

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h - 1}$

$f (x) = \frac{x}{x - 1}$

解题步骤 3

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h - 1} - (\frac{x}{x - 1})}{h}$

解题步骤 4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

要将 $\frac{x + h}{x + h - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x}{x - 1}}{h}$

解题步骤 4.1.2

要将 $- \frac{x}{x - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

解题步骤 4.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + h - 1) (x - 1)$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.1

将 $\frac{x + h}{x + h - 1}$ 乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $\frac{x}{x - 1}$ 乘以 $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{x (x + h - 1)}{(x - 1) (x + h - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.3.3

重新排序 $(x - 1) (x + h - 1)$ 的因式。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.4

在公分母上合并分子。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x - 1) - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5

以因式分解的形式重写 $\frac{(x + h) (x - 1) - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x - 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.1.1

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x (x - 1) + h (x - 1) - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.1.2

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + h (x - 1) - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.1.3

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.2.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - 1 \cdot x + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - x + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.4

将 $- 1$ 移到 $h$ 的左侧。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - x + h x - 1 \cdot h - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.5

将 $- 1 h$ 重写为 $- h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - x + h x - h - x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - x + h x - h - x \cdot x - x h - x \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.4.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.4.1.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - x + h x - h - (x \cdot x) - x h - x \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.4.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - x + h x - h - x^{2} - x h - x \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.4.2

乘以 $- x \cdot - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - x + h x - h - x^{2} - x h + 1 x}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.4.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - x + h x - h - x^{2} - x h + x}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.5

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x + h x - h + 0 - x h + x}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6

将 $- x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x + h x - h - x h + x}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.7

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x - h - x h + 0}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.8

将 $h x - h - x h$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x - h - x h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.9

从 $h x$ 中减去 $x h$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.9.1

将 $h$ 和 $x$ 重新排序。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h + x h - x h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.9.2

从 $x h$ 中减去 $x h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h + 0}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.10

将 $- h$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.6

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3

约去 $h$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

将 $- \frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)}$ 中前置负号移到分子中。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.2

从 $- h$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.3

约去公因数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.4

重写表达式。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{(x + h - 1) (x - 1)}$

解题步骤 4.4

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{(x + h - 1) (x - 1)}$

解题步骤 5

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

因为项 $- 1$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + h - 1) (x - 1)}$

解题步骤 5.2

因为项 $\frac{1}{x - 1}$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{x - 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h - 1}$

解题步骤 5.3

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h - 1}$

解题步骤 5.4

计算 $1$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h - 1}$

解题步骤 5.5

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 1}$

解题步骤 5.6

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 1}$

解题步骤 5.7

计算 $1$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 1}$

解题步骤 6

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x + 0 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 7

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x + 0 - 1}$

解题步骤 7.1.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x - 1}$

解题步骤 7.2

乘以 $- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x - 1}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

将 $\frac{1}{x - 1}$ 乘以 $\frac{1}{x - 1}$ 。

$- \frac{1}{(x - 1) (x - 1)}$

解题步骤 7.2.2

对 $x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{1} (x - 1)}$

解题步骤 7.2.3

对 $x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1}}$

解题步骤 7.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例