微积分学示例

$f (x) = \frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 3 x^{2}}]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 3 x^{2}}]$

解题步骤 1.1.1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 1 + 3 x^{2}$ 。

$6 \frac{(1 + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \frac{(1 + 3 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2

将 $1 + 3 x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3

根据加法法则， $1 + 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 相加。

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x \frac{d}{d x} [3 x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.6

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.7

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 3 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 3 x (2 x)}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.9

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 x \cdot x}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 (x^{1} x)}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 (x^{1} x^{1})}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 x^{1 + 1}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 x^{2}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.8

从 $3 x^{2}$ 中减去 $6 x^{2}$ 。

$6 \frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.9

组合 $6$ 和 $\frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$ 。

$\frac{6 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.10

化简。

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解题步骤 1.1.1.10.1

运用分配律。

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- 3 x^{2})}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.10.2

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.10.2.1

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 + 6 (- 3 x^{2})}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.10.2.2

将 $- 3$ 乘以 $6$ 。

$\frac{6 - 18 x^{2}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.10.3

重新排序项。

$f' (x) = \frac{- 18 x^{2} + 6}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = - 18 x^{2} + 6$ 且 $g (x) = {(3 x^{2} + 1)}^{2}$ 。

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [- 18 x^{2} + 6] - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(3 x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.2.1

将 ${({(3 x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [- 18 x^{2} + 6] - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 1.1.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [- 18 x^{2} + 6] - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.2.2

根据加法法则， $- 18 x^{2} + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.2.3

因为 $- 18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 18 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [6]) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.2.5

将 $2$ 乘以 $- 18$ 。

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x + \frac{d}{d x} [6]) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.2.6

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x + 0) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.2.7

将 $- 36 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 3 x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x^{2} + 1$ 。

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} + 6) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} + 6) (2 u \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.3.3

使用 $3 x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} + 6) (2 (3 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.4

求微分。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.4.2

根据加法法则， $3 x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.4.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.4.5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.4.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (6 x + 0))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.4.7

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.4.7.1

将 $6 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (6 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.4.7.2

将 $6$ 移到 $3 x^{2} + 1$ 的左侧。

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) (6 \cdot (3 x^{2} + 1) x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.4.7.3

将 $6$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 12 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5

化简。

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解题步骤 1.1.2.5.1

运用分配律。

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) ((3 x^{2} + 1) x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.2

运用分配律。

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 36 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.2

将 ${(3 x^{2} + 1)}^{2}$ 重写为 $(3 x^{2} + 1) (3 x^{2} + 1)$ 。

$\frac{- 36 ((3 x^{2} + 1) (3 x^{2} + 1)) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(3 x^{2} + 1) (3 x^{2} + 1)$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.3.1

运用分配律。

$\frac{- 36 (3 x^{2} (3 x^{2} + 1) + 1 (3 x^{2} + 1)) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.3.2

运用分配律。

$\frac{- 36 (3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2} + 1)) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.3.3

运用分配律。

$\frac{- 36 (3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 36 (3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.4.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.4.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{- 36 (3 \cdot 3 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 36 (3 \cdot 3 x^{2 + 2} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.4.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 36 (3 \cdot 3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.4.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.4.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 3 x^{2} + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.4.1.5

将 $3 x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.4.1.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.4.2

将 $3 x^{2}$ 和 $3 x^{2}$ 相加。

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 6 x^{2} + 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.5

运用分配律。

$\frac{(- 36 (9 x^{4}) - 36 (6 x^{2}) - 36 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.6

化简。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.6.1

将 $9$ 乘以 $- 36$ 。

$\frac{(- 324 x^{4} - 36 (6 x^{2}) - 36 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.6.2

将 $6$ 乘以 $- 36$ 。

$\frac{(- 324 x^{4} - 216 x^{2} - 36 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.6.3

将 $- 36$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(- 324 x^{4} - 216 x^{2} - 36) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.7

运用分配律。

$\frac{- 324 x^{4} x - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.8

化简。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 324 (x \cdot x^{4}) - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 324 (x^{1} x^{4}) - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 324 x^{1 + 4} - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 324 x^{5} - 216 (x \cdot x^{2}) - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 324 x^{5} - 216 (x^{1} x^{2}) - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{1 + 2} - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.9

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.9.1

将 $- 18$ 乘以 $- 12$ 。

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.9.2

将 $- 12$ 乘以 $6$ 。

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.10

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.10.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.10.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 (x \cdot x^{2}) + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.10.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.10.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 (x^{1} x^{2}) + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.10.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 x^{1 + 2} + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.10.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 x^{3} + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.10.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 x^{3} + x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.11

使用 FOIL 方法展开 $(216 x^{2} - 72) (3 x^{3} + x)$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.11.1

运用分配律。

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 x^{2} (3 x^{3} + x) - 72 (3 x^{3} + x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.11.2

运用分配律。

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 x^{2} (3 x^{3}) + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3} + x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.11.3

运用分配律。

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 x^{2} (3 x^{3}) + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 \cdot 3 x^{2} x^{3} + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 \cdot 3 (x^{3} x^{2}) + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 \cdot 3 x^{3 + 2} + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.2.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 \cdot 3 x^{5} + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.3

将 $216$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 (x \cdot x^{2}) - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 (x^{1} x^{2}) - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 x^{1 + 2} - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 x^{3} - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.5

将 $3$ 乘以 $- 72$ 。

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 x^{3} - 216 x^{3} - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.2

从 $216 x^{3}$ 中减去 $216 x^{3}$ 。

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 0 - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.3

将 $648 x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.2

将 $- 324 x^{5}$ 和 $648 x^{5}$ 相加。

$\frac{324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.3

从 $- 36 x$ 中减去 $72 x$ 。

$\frac{324 x^{5} - 216 x^{3} - 108 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.5.4.1

从 $324 x^{5} - 216 x^{3} - 108 x$ 中分解出因数 $108 x$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.4.1.1

从 $324 x^{5}$ 中分解出因数 $108 x$ 。

$\frac{108 x (3 x^{4}) - 216 x^{3} - 108 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.1.2

从 $- 216 x^{3}$ 中分解出因数 $108 x$ 。

$\frac{108 x (3 x^{4}) + 108 x (- 2 x^{2}) - 108 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.1.3

从 $- 108 x$ 中分解出因数 $108 x$ 。

$\frac{108 x (3 x^{4}) + 108 x (- 2 x^{2}) + 108 x (- 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.1.4

从 $108 x (3 x^{4}) + 108 x (- 2 x^{2})$ 中分解出因数 $108 x$ 。

$\frac{108 x (3 x^{4} - 2 x^{2}) + 108 x (- 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.1.5

从 $108 x (3 x^{4} - 2 x^{2}) + 108 x (- 1)$ 中分解出因数 $108 x$ 。

$\frac{108 x (3 x^{4} - 2 x^{2} - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$\frac{108 x (3 {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.3

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$\frac{108 x (3 u^{2} - 2 u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.4

分组因式分解。

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解题步骤 1.1.2.5.4.4.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ 并且它们的和为 $b = - 2$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.4.4.1.1

从 $- 2 u$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$\frac{108 x (3 u^{2} - 2 (u) - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.4.1.2

把 $- 2$ 重写为 $1$ 加 $- 3$

$\frac{108 x (3 u^{2} + (1 - 3) u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.4.1.3

运用分配律。

$\frac{108 x (3 u^{2} + 1 u - 3 u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.4.1.4

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$\frac{108 x (3 u^{2} + u - 3 u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.4.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.2.5.4.4.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{108 x ((3 u^{2} + u) - 3 u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.4.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{108 x (u (3 u + 1) - (3 u + 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.4.3

通过因式分解出最大公因数 $3 u + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{108 x ((3 u + 1) (u - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.5

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{108 x ((3 x^{2} + 1) (x^{2} - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.6

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{108 x ((3 x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.7

因数。

$\frac{108 x (3 x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.5

约去 $3 x^{2} + 1$ 和 ${(3 x^{2} + 1)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.5.5.1

从 $108 x (3 x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ 中分解出因数 $3 x^{2} + 1$ 。

$\frac{(3 x^{2} + 1) ((108 x (x + 1)) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.5.5.2.1

从 ${(3 x^{2} + 1)}^{4}$ 中分解出因数 $3 x^{2} + 1$ 。

$\frac{(3 x^{2} + 1) ((108 x (x + 1)) (x - 1))}{(3 x^{2} + 1) {(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.5.5.2.2

约去公因数。

$\frac{(3 x^{2} + 1) ((108 x (x + 1)) (x - 1))}{(3 x^{2} + 1) {(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.5.5.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{(108 x (x + 1)) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ 。

$\frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$108 x (x + 1) (x - 1) = 0$

解题步骤 1.2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 1.2.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 1.2.3.2

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.3.3

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.3.3.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 1.2.3.3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 1.2.3.4

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.3.4.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 1.2.3.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 1.2.3.5

最终解为使 $108 x (x + 1) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 1, 1$

解题步骤 2

求 $f (x) = \frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$1 + 3 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$3 x^{2} = - 1$

解题步骤 2.2.2

将 $3 x^{2} = - 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $3 x^{2} = - 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 2.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 2.2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 2.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

解题步骤 2.2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

解题步骤 2.2.4

化简 $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $- \frac{1}{3}$ 重写为 $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ 。

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解题步骤 2.2.4.1.1

将 $- 1$ 重写为 $i^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

解题步骤 2.2.4.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

解题步骤 2.2.4.2

从根式下提出各项。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

解题步骤 2.2.4.3

一的任意次幂都为一。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2.2.4.4

将 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.2.4.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.2.4.6

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

解题步骤 2.2.4.7

合并和化简分母。

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解题步骤 2.2.4.7.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 2.2.4.7.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 2.2.4.7.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 2.2.4.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.2.4.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 2.2.4.7.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.2.4.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.4.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.4.7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.2.4.7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.7.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.2.4.7.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 2.2.4.7.6.5

计算指数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.2.4.8

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.3

定义域为全体实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, - 1)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 4) = \frac{108 (- 4) ((- 4) + 1) ((- 4) - 1)}{{(3 {(- 4)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

将 $108$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{{(3 {(- 4)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{{(3 \cdot 16 + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.2.2.2

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{{(48 + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.2.2.3

将 $48$ 和 $1$ 相加。

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{49^{3}}$

解题步骤 4.2.2.4

对 $49$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{117649}$

解题步骤 4.2.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$f'' (- 4) = \frac{- 432 \cdot (- 3 (- 4 - 1))}{117649}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $- 432$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (- 4) = \frac{1296 (- 4 - 1)}{117649}$

解题步骤 4.2.3.3

从 $- 4$ 中减去 $1$ 。

$f'' (- 4) = \frac{1296 \cdot - 5}{117649}$

解题步骤 4.2.4

化简表达式。

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解题步骤 4.2.4.1

将 $1296$ 乘以 $- 5$ 。

$f'' (- 4) = \frac{- 6480}{117649}$

解题步骤 4.2.4.2

将负号移到分数的前面。

$f'' (- 4) = - \frac{6480}{117649}$

解题步骤 4.2.5

最终答案为 $- \frac{6480}{117649}$ 。

$- \frac{6480}{117649}$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, - 1)$ 上向下凹，因为 $f'' (- 4)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, - 1)$ 上为向下凹

解题步骤 5

将区间 $(- 1, 0)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 0.5$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.5) = \frac{108 (- 0.5) ((- 0.5) + 1) ((- 0.5) - 1)}{{(3 {(- 0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $108$ 乘以 $- 0.5$ 。

$f'' (- 0.5) = \frac{- 54 (- 0.5 + 1) (- 0.5 - 1)}{{(3 {(- 0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 54$ 乘以 $- 0.5 + 1$ 。

$f'' (- 0.5) = \frac{- 27 (- 0.5 - 1)}{{(3 {(- 0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 27$ 乘以 $- 0.5 - 1$ 。

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{{(3 {(- 0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 5.2.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.2.1

对 $- 0.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{{(3 \cdot 0.25 + 1)}^{3}}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $3$ 乘以 $0.25$ 。

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

解题步骤 5.2.2.3

将 $0.75$ 和 $1$ 相加。

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{{1.75}^{3}}$

解题步骤 5.2.2.4

对 $1.75$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{5.359375}$

解题步骤 5.2.3

用 $40.5$ 除以 $5.359375$ 。

$f'' (- 0.5) = 7.55685131$

解题步骤 5.2.4

最终答案为 $7.55685131$ 。

$7.55685131$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- 1, 0)$ 上向上凹，因为 $f'' (- 0.5)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- 1, 0)$ 上为向上凹

解题步骤 6

将区间 $(0, 1)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0.5$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.5) = \frac{108 (0.5) ((0.5) + 1) ((0.5) - 1)}{{(3 {(0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $108$ 乘以 $0.5$ 。

$f'' (0.5) = \frac{54 (0.5 + 1) (0.5 - 1)}{{(3 \cdot {0.5}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $54$ 乘以 $0.5 + 1$ 。

$f'' (0.5) = \frac{81 (0.5 - 1)}{{(3 \cdot {0.5}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $81$ 乘以 $0.5 - 1$ 。

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{{(3 \cdot {0.5}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

对 $0.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{{(3 \cdot 0.25 + 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $3$ 乘以 $0.25$ 。

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.3

将 $0.75$ 和 $1$ 相加。

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{{1.75}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.4

对 $1.75$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{5.359375}$

解题步骤 6.2.3

用 $- 40.5$ 除以 $5.359375$ 。

$f'' (0.5) = - 7.55685131$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $- 7.55685131$ 。

$- 7.55685131$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(0, 1)$ 上向下凹，因为 $f'' (0.5)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(0, 1)$ 上为向下凹

解题步骤 7

将区间 $(1, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (4) = \frac{108 (4) ((4) + 1) ((4) - 1)}{{(3 {(4)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

将 $108$ 乘以 $4$ 。

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{{(3 \cdot 4^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.2.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{{(3 \cdot 16 + 1)}^{3}}$

解题步骤 7.2.2.2

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{{(48 + 1)}^{3}}$

解题步骤 7.2.2.3

将 $48$ 和 $1$ 相加。

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{49^{3}}$

解题步骤 7.2.2.4

对 $49$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{117649}$

解题步骤 7.2.3

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.1

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$f'' (4) = \frac{432 \cdot (5 (4 - 1))}{117649}$

解题步骤 7.2.3.2

将 $432$ 乘以 $5$ 。

$f'' (4) = \frac{2160 (4 - 1)}{117649}$

解题步骤 7.2.3.3

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$f'' (4) = \frac{2160 \cdot 3}{117649}$

解题步骤 7.2.4

将 $2160$ 乘以 $3$ 。

$f'' (4) = \frac{6480}{117649}$

解题步骤 7.2.5

最终答案为 $\frac{6480}{117649}$ 。

$\frac{6480}{117649}$

解题步骤 7.3

图像在区间 $(1, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (4)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(1, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 8

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, - 1)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- 1, 0)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(0, 1)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(1, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例