微积分学示例

$f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 9}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x}{x^{2} - 9}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 9}]$ 。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 9})$

解题步骤 1.1.1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} - 9$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}})$

解题步骤 1.1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}})$

解题步骤 1.1.1.3.2

将 $x^{2} - 9$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 9 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}})$

解题步骤 1.1.1.3.3

根据加法法则， $x^{2} - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 9 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}})$

解题步骤 1.1.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 9 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}})$

解题步骤 1.1.1.3.5

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 9 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{2}})$

解题步骤 1.1.1.3.6

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.3.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 9 - x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}})$

解题步骤 1.1.1.3.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 9 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{2}})$

解题步骤 1.1.1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 9 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}})$

解题步骤 1.1.1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 9 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}})$

解题步骤 1.1.1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 9 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 9)}^{2}})$

解题步骤 1.1.1.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}})$

解题步骤 1.1.1.8

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{- x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{2}})$

解题步骤 1.1.1.9

组合 $2$ 和 $\frac{- x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.10

化简。

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解题步骤 1.1.1.10.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.10.2

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.10.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.10.2.2

将 $2$ 乘以 $- 9$ 。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 18}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = - 2 x^{2} - 18$ 且 $g (x) = {(x^{2} - 9)}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 18) - (- 2 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.2.1

将 ${({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 18) - (- 2 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 1.1.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 18) - (- 2 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.2.2

根据加法法则， $- 2 x^{2} - 18$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18)) - (- 2 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.2.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 18)) - (- 2 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 18)) - (- 2 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.2.5

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 4 x + \frac{d}{d x} (- 18)) - (- 2 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.2.6

因为 $- 18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 18$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.2.7

将 $- 4 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} - 9$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 9$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 18) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 18) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.3.3

使用 $x^{2} - 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 18) (2 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.4

求微分。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 18) ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.4.2

根据加法法则， $x^{2} - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 18) ((x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 18) ((x^{2} - 9) (2 x + \frac{d}{d x} (- 9)))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.4.4

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 18) ((x^{2} - 9) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.4.5

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.4.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 18) ((x^{2} - 9) (2 x))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.4.5.2

将 $2$ 移到 $x^{2} - 9$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 18) (2 \cdot ((x^{2} - 9) x))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.4.5.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 4 x) - 4 (- 2 x^{2} - 18) ((x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5

化简。

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解题步骤 1.1.2.5.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 18) ((x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 18) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(x^{2} - 9)}^{2} x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 18) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.2

将 ${(x^{2} - 9)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9)$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 ((x^{2} - 9) (x^{2} - 9)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 18) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9)$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.3.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} (x^{2} - 9) - 9 (x^{2} - 9)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 18) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.3.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9 - 9 (x^{2} - 9)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 18) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.3.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9 - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 18) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.4.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.4.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 9 - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 18) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.4.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} \cdot - 9 - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 18) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.4.1.2

将 $- 9$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 9 \cdot x^{2} - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 18) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.4.1.3

将 $- 9$ 乘以 $- 9$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 9 x^{2} - 9 x^{2} + 81) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 18) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.4.2

从 $- 9 x^{2}$ 中减去 $9 x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 18 x^{2} + 81) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 18) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.5

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} - 4 (- 18 x^{2}) - 4 \cdot 81) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 18) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.6

化简。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.6.1

将 $- 18$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} + 72 x^{2} - 4 \cdot 81) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 18) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.6.2

将 $- 4$ 乘以 $81$ 。

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} + 72 x^{2} - 324) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 18) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.7

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{4} x + 72 x^{2} x - 324 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 18) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.8

化简。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.1.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) + 72 x^{2} x - 324 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 18) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) + 72 x^{2} x - 324 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 18) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{1 + 4} + 72 x^{2} x - 324 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 18) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 72 x^{2} x - 324 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 18) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.2.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 72 (x \cdot x^{2}) - 324 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 18) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 72 (x \cdot x^{2}) - 324 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 18) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 72 x^{1 + 2} - 324 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 18) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.8.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 72 x^{3} - 324 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 18) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.9

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.9.1

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 72 x^{3} - 324 x + (8 x^{2} - 4 \cdot - 18) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.9.2

将 $- 4$ 乘以 $- 18$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 72 x^{3} - 324 x + (8 x^{2} + 72) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.10

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.10.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.10.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 72 x^{3} - 324 x + (8 x^{2} + 72) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.10.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 72 x^{3} - 324 x + (8 x^{2} + 72) (x^{2 + 1} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.10.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 72 x^{3} - 324 x + (8 x^{2} + 72) (x^{3} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.11

使用 FOIL 方法展开 $(8 x^{2} + 72) (x^{3} - 9 x)$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.11.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 72 x^{3} - 324 x + 8 x^{2} (x^{3} - 9 x) + 72 (x^{3} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.11.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 72 x^{3} - 324 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} (- 9 x) + 72 (x^{3} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.11.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 72 x^{3} - 324 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} (- 9 x) + 72 x^{3} + 72 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.1.1

移动 $x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 72 x^{3} - 324 x + 8 (x^{3} x^{2}) + 8 x^{2} (- 9 x) + 72 x^{3} + 72 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 72 x^{3} - 324 x + 8 x^{3 + 2} + 8 x^{2} (- 9 x) + 72 x^{3} + 72 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.1.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 72 x^{3} - 324 x + 8 x^{5} + 8 x^{2} (- 9 x) + 72 x^{3} + 72 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 72 x^{3} - 324 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 9 x^{2} x) + 72 x^{3} + 72 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.3.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 72 x^{3} - 324 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 9 (x \cdot x^{2})) + 72 x^{3} + 72 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 72 x^{3} - 324 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 9 (x \cdot x^{2})) + 72 x^{3} + 72 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 72 x^{3} - 324 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 9 x^{1 + 2}) + 72 x^{3} + 72 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 72 x^{3} - 324 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 9 x^{3}) + 72 x^{3} + 72 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.4

将 $8$ 乘以 $- 9$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 72 x^{3} - 324 x + 8 x^{5} - 72 x^{3} + 72 x^{3} + 72 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.1.5

将 $- 9$ 乘以 $72$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 72 x^{3} - 324 x + 8 x^{5} - 72 x^{3} + 72 x^{3} - 648 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.2

将 $- 72 x^{3}$ 和 $72 x^{3}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 72 x^{3} - 324 x + 8 x^{5} + 0 - 648 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.1.12.3

将 $8 x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 72 x^{3} - 324 x + 8 x^{5} - 648 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.2

将 $- 4 x^{5}$ 和 $8 x^{5}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 72 x^{3} - 324 x - 648 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.3.3

从 $- 324 x$ 中减去 $648 x$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 72 x^{3} - 972 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.5.4.1

从 $4 x^{5} + 72 x^{3} - 972 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.4.1.1

从 $4 x^{5}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 72 x^{3} - 972 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.1.2

从 $72 x^{3}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (18 x^{2}) - 972 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.1.3

从 $- 972 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (18 x^{2}) + 4 x (- 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.1.4

从 $4 x (x^{4}) + 4 x (18 x^{2})$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} + 18 x^{2}) + 4 x (- 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.1.5

从 $4 x (x^{4} + 18 x^{2}) + 4 x (- 243)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} + 18 x^{2} - 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x ({(x^{2})}^{2} + 18 x^{2} - 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.3

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x (u^{2} + 18 u - 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.4

使用 AC 法来对 $u^{2} + 18 u - 243$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.2.5.4.4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 243$ ，和为 $18$ 。

$- 9, 27$

解题步骤 1.1.2.5.4.4.2

使用这些整数书写分数形式。

$f'' (x) = \frac{4 x ((u - 9) (u + 27))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.5

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x ((x^{2} - 9) (x^{2} + 27))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.6

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x ((x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 27))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.4.7

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.5

化简分母。

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解题步骤 1.1.2.5.5.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{(x^{2} - 3^{2})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{((x + 3) (x - 3))}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.5.3

对 $(x + 3) (x - 3)$ 运用乘积法则。

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.6

约去 $x + 3$ 和 ${(x + 3)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.5.6.1

从 $4 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)$ 中分解出因数 $x + 3$ 。

$f'' (x) = \frac{(x + 3) ((4 x (x - 3)) (x^{2} + 27))}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.5.6.2.1

从 ${(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}$ 中分解出因数 $x + 3$ 。

$f'' (x) = \frac{(x + 3) ((4 x (x - 3)) (x^{2} + 27))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

解题步骤 1.1.2.5.6.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{(x + 3) ((4 x (x - 3)) (x^{2} + 27))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

解题步骤 1.1.2.5.6.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{(4 x (x - 3)) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.7

约去 $x - 3$ 和 ${(x - 3)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.5.7.1

从 $(4 x (x - 3)) (x^{2} + 27)$ 中分解出因数 $x - 3$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((4 x) (x^{2} + 27))}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.7.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.5.7.2.1

从 ${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}$ 中分解出因数 $x - 3$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((4 x) (x^{2} + 27))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

解题步骤 1.1.2.5.7.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((4 x) (x^{2} + 27))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

解题步骤 1.1.2.5.7.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{(4 x) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{4 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$ 。

$\frac{4 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{4 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{4 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$4 x (x^{2} + 27) = 0$

解题步骤 1.2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 1.2.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x^{2} + 27 = 0$

解题步骤 1.2.3.2

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.3.3

将 $x^{2} + 27$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.3.3.1

将 $x^{2} + 27$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 27 = 0$

解题步骤 1.2.3.3.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 27 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.3.3.2.1

从等式两边同时减去 $27$ 。

$x^{2} = - 27$

解题步骤 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 27}$

解题步骤 1.2.3.3.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 27}$ 。

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解题步骤 1.2.3.3.2.3.1

将 $- 27$ 重写为 $- 1 (27)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (27)}$

解题步骤 1.2.3.3.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (27)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$

解题步骤 1.2.3.3.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{27}$

解题步骤 1.2.3.3.2.3.4

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.2.3.3.2.3.4.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}$

解题步骤 1.2.3.3.2.3.4.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.3.2.3.5

从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot (3 \sqrt{3})$

解题步骤 1.2.3.3.2.3.6

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 3 i \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.3.3.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.3.3.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 3 i \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.3.3.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 3 i \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.3.3.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3 i \sqrt{3}, - 3 i \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.3.4

最终解为使 $4 x (x^{2} + 27) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 3 i \sqrt{3}, - 3 i \sqrt{3}$

解题步骤 2

求 $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 9}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{2 x}{x^{2} - 9}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} - 9 = 0$

解题步骤 2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1

在等式两边都加上 $9$ 。

$x^{2} = 9$

解题步骤 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

解题步骤 2.2.3

化简 $\pm \sqrt{9}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 2.2.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 3$

解题步骤 2.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 3$

解题步骤 2.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 3$

解题步骤 2.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3, - 3$

解题步骤 2.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 3, - 3}$

区间计数法：

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 3, - 3}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, - 3)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 6$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 6) = \frac{4 (- 6) ({(- 6)}^{2} + 27)}{{((- 6) + 3)}^{3} {((- 6) - 3)}^{3}}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

将 $4$ 乘以 $- 6$ 。

$f'' (- 6) = \frac{- 24 ({(- 6)}^{2} + 27)}{{(- 6 + 3)}^{3} {(- 6 - 3)}^{3}}$

解题步骤 4.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $- 6$ 和 $3$ 相加。

$f'' (- 6) = \frac{- 24 ({(- 6)}^{2} + 27)}{{(- 3)}^{3} {(- 6 - 3)}^{3}}$

解题步骤 4.2.2.2

从 $- 6$ 中减去 $3$ 。

$f'' (- 6) = \frac{- 24 ({(- 6)}^{2} + 27)}{{(- 3)}^{3} {(- 9)}^{3}}$

解题步骤 4.2.2.3

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 6) = \frac{- 24 ({(- 6)}^{2} + 27)}{- 27 {(- 9)}^{3}}$

解题步骤 4.2.2.4

对 $- 9$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 6) = \frac{- 24 ({(- 6)}^{2} + 27)}{- 27 \cdot - 729}$

解题步骤 4.2.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 6) = \frac{- 24 (36 + 27)}{- 27 \cdot - 729}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $36$ 和 $27$ 相加。

$f'' (- 6) = \frac{- 24 \cdot 63}{- 27 \cdot - 729}$

解题步骤 4.2.4

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.4.1

将 $- 27$ 乘以 $- 729$ 。

$f'' (- 6) = \frac{- 24 \cdot 63}{19683}$

解题步骤 4.2.4.2

将 $- 24$ 乘以 $63$ 。

$f'' (- 6) = \frac{- 1512}{19683}$

解题步骤 4.2.4.3

约去 $- 1512$ 和 $19683$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.3.1

从 $- 1512$ 中分解出因数 $27$ 。

$f'' (- 6) = \frac{27 (- 56)}{19683}$

解题步骤 4.2.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.4.3.2.1

从 $19683$ 中分解出因数 $27$ 。

$f'' (- 6) = \frac{27 \cdot - 56}{27 \cdot 729}$

解题步骤 4.2.4.3.2.2

约去公因数。

$f'' (- 6) = \frac{27 \cdot - 56}{27 \cdot 729}$

解题步骤 4.2.4.3.2.3

重写表达式。

$f'' (- 6) = \frac{- 56}{729}$

解题步骤 4.2.4.4

将负号移到分数的前面。

$f'' (- 6) = - \frac{56}{729}$

解题步骤 4.2.5

最终答案为 $- \frac{56}{729}$ 。

$- \frac{56}{729}$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, - 3)$ 上向下凹，因为 $f'' (- 6)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, - 3)$ 上为向下凹

解题步骤 5

将区间 $(- 3, 0)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 2) = \frac{4 (- 2) ({(- 2)}^{2} + 27)}{{((- 2) + 3)}^{3} {((- 2) - 3)}^{3}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (- 2) = \frac{- 8 ({(- 2)}^{2} + 27)}{{(- 2 + 3)}^{3} {(- 2 - 3)}^{3}}$

解题步骤 5.2.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$f'' (- 2) = \frac{- 8 ({(- 2)}^{2} + 27)}{1^{3} {(- 2 - 3)}^{3}}$

解题步骤 5.2.2.2

从 $- 2$ 中减去 $3$ 。

$f'' (- 2) = \frac{- 8 ({(- 2)}^{2} + 27)}{1^{3} {(- 5)}^{3}}$

解题步骤 5.2.2.3

一的任意次幂都为一。

$f'' (- 2) = \frac{- 8 ({(- 2)}^{2} + 27)}{1 {(- 5)}^{3}}$

解题步骤 5.2.2.4

对 $- 5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 2) = \frac{- 8 ({(- 2)}^{2} + 27)}{1 \cdot - 125}$

解题步骤 5.2.2.5

将 $- 125$ 乘以 $1$ 。

$f'' (- 2) = \frac{- 8 ({(- 2)}^{2} + 27)}{- 125}$

解题步骤 5.2.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 2) = \frac{- 8 (4 + 27)}{- 125}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $4$ 和 $27$ 相加。

$f'' (- 2) = \frac{- 8 \cdot 31}{- 125}$

解题步骤 5.2.4

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $- 8$ 乘以 $31$ 。

$f'' (- 2) = \frac{- 248}{- 125}$

解题步骤 5.2.4.2

将两个负数相除得到一个正数。

$f'' (- 2) = \frac{248}{125}$

解题步骤 5.2.5

最终答案为 $\frac{248}{125}$ 。

$\frac{248}{125}$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- 3, 0)$ 上向上凹，因为 $f'' (- 2)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- 3, 0)$ 上为向上凹

解题步骤 6

将区间 $(0, 3)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2) = \frac{4 (2) ({(2)}^{2} + 27)}{{((2) + 3)}^{3} {((2) - 3)}^{3}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f'' (2) = \frac{8 (2^{2} + 27)}{{(2 + 3)}^{3} {(2 - 3)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$f'' (2) = \frac{8 (2^{2} + 27)}{5^{3} {(2 - 3)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$f'' (2) = \frac{8 (2^{2} + 27)}{5^{3} {(- 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.3

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (2) = \frac{8 (2^{2} + 27)}{125 {(- 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.4

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (2) = \frac{8 (2^{2} + 27)}{125 \cdot - 1}$

解题步骤 6.2.3

化简分子。

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解题步骤 6.2.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (2) = \frac{8 (4 + 27)}{125 \cdot - 1}$

解题步骤 6.2.3.2

将 $4$ 和 $27$ 相加。

$f'' (2) = \frac{8 \cdot 31}{125 \cdot - 1}$

解题步骤 6.2.4

化简表达式。

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解题步骤 6.2.4.1

将 $125$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (2) = \frac{8 \cdot 31}{- 125}$

解题步骤 6.2.4.2

将 $8$ 乘以 $31$ 。

$f'' (2) = \frac{248}{- 125}$

解题步骤 6.2.4.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (2) = - \frac{248}{125}$

解题步骤 6.2.5

最终答案为 $- \frac{248}{125}$ 。

$- \frac{248}{125}$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(0, 3)$ 上向下凹，因为 $f'' (2)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(0, 3)$ 上为向下凹

解题步骤 7

将区间 $(3, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (6) = \frac{4 (6) ({(6)}^{2} + 27)}{{((6) + 3)}^{3} {((6) - 3)}^{3}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$f'' (6) = \frac{24 (6^{2} + 27)}{{(6 + 3)}^{3} {(6 - 3)}^{3}}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $6$ 和 $3$ 相加。

$f'' (6) = \frac{24 (6^{2} + 27)}{9^{3} {(6 - 3)}^{3}}$

解题步骤 7.2.2.2

从 $6$ 中减去 $3$ 。

$f'' (6) = \frac{24 (6^{2} + 27)}{9^{3} \cdot 3^{3}}$

解题步骤 7.2.2.3

对 $9$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (6) = \frac{24 (6^{2} + 27)}{729 \cdot 3^{3}}$

解题步骤 7.2.2.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (6) = \frac{24 (6^{2} + 27)}{729 \cdot 27}$

解题步骤 7.2.3

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (6) = \frac{24 (36 + 27)}{729 \cdot 27}$

解题步骤 7.2.3.2

将 $36$ 和 $27$ 相加。

$f'' (6) = \frac{24 \cdot 63}{729 \cdot 27}$

解题步骤 7.2.4

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 7.2.4.1

将 $729$ 乘以 $27$ 。

$f'' (6) = \frac{24 \cdot 63}{19683}$

解题步骤 7.2.4.2

将 $24$ 乘以 $63$ 。

$f'' (6) = \frac{1512}{19683}$

解题步骤 7.2.4.3

约去 $1512$ 和 $19683$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.4.3.1

从 $1512$ 中分解出因数 $27$ 。

$f'' (6) = \frac{27 (56)}{19683}$

解题步骤 7.2.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.4.3.2.1

从 $19683$ 中分解出因数 $27$ 。

$f'' (6) = \frac{27 \cdot 56}{27 \cdot 729}$

解题步骤 7.2.4.3.2.2

约去公因数。

$f'' (6) = \frac{27 \cdot 56}{27 \cdot 729}$

解题步骤 7.2.4.3.2.3

重写表达式。

$f'' (6) = \frac{56}{729}$

解题步骤 7.2.5

最终答案为 $\frac{56}{729}$ 。

$\frac{56}{729}$

解题步骤 7.3

图像在区间 $(3, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (6)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(3, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 8

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, - 3)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- 3, 0)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(0, 3)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(3, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例