微积分学示例

$f (x) = \frac{\sqrt{9 x^{2} + 1}}{x}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{9 x^{2} + 1}$ 重写成 ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x}]$

解题步骤 1.1.1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 9 x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $9 x^{2} + 1$ 。

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3

使用 $9 x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.7

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.8

合并分数。

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解题步骤 1.1.1.8.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x (\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{x (\frac{1}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.8.4

组合 $\frac{1}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1] - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.9

根据加法法则， $9 x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.10

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.12

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$\frac{\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (18 x + \frac{d}{d x} [1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.13

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (18 x + 0) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.14

合并分数。

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解题步骤 1.1.1.14.1

将 $18 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (18 x) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.14.2

组合 $18$ 和 $\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{18 x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.14.3

组合 $\frac{18 x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{\frac{18 x \cdot x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{18 (x^{1} x)}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.16

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{18 (x^{1} x^{1})}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{18 x^{1 + 1}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.18

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{18 x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.19

从 $18 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 (9 x^{2})}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20

约去公因数。

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解题步骤 1.1.1.20.1

从 $2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 (9 x^{2})}{2 ({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20.2

约去公因数。

$\frac{\frac{2 (9 x^{2})}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20.3

重写表达式。

$\frac{\frac{9 x^{2}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.21

将 $\frac{\frac{9 x^{2}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{9 x^{2}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.22

合并。

$\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{9 x^{2}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.23

运用分配律。

$\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{9 x^{2}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.24

约去 ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.24.1

约去公因数。

解题步骤 1.1.1.24.2

重写表达式。

$\frac{9 x^{2} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.25

通过指数相加将 ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.1.25.1

移动 ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{9 x^{2} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.25.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{9 x^{2} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.25.3

在公分母上合并分子。

$\frac{9 x^{2} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.25.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{9 x^{2} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.25.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{9 x^{2} + {(9 x^{2} + 1)}^{1} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.26

化简 ${(9 x^{2} + 1)}^{1} (- \frac{d}{d x} [x])$ 。

$\frac{9 x^{2} + (9 x^{2} + 1) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.27

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{9 x^{2} + (9 x^{2} + 1) (- 1 \cdot 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.28

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.28.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{9 x^{2} + (9 x^{2} + 1) \cdot - 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.28.2

将 $- 1$ 移到 $9 x^{2} + 1$ 的左侧。

$\frac{9 x^{2} - 1 \cdot (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.28.3

将 $- 1 (9 x^{2} + 1)$ 重写为 $- (9 x^{2} + 1)$ 。

$\frac{9 x^{2} - (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.29

化简。

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解题步骤 1.1.1.29.1

运用分配律。

$\frac{9 x^{2} - (9 x^{2}) - 1 \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.29.2

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.29.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.29.2.1.1

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{9 x^{2} - 9 x^{2} - 1 \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.29.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{9 x^{2} - 9 x^{2} - 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.29.2.2

从 $9 x^{2}$ 中减去 $9 x^{2}$ 。

$\frac{0 - 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.29.2.3

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.29.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.29.4

将 $- \frac{1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.2

将 $\frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.3.3

使用 $x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- (- {(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.4

乘。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 ({(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 ${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.5

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 9 x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 1.1.2.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $9 x^{2} + 1$ 。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.6.3

使用 $9 x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.9

在公分母上合并分子。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.10

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.11

合并分数。

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解题步骤 1.1.2.11.1

将负号移到分数的前面。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.11.4

组合 $\frac{1}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x^{2}$ 。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1] + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.12

根据加法法则， $9 x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.13

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.15

将 $2$ 乘以 $9$ 。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (18 x + \frac{d}{d x} [1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.16

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (18 x + 0) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.17

合并分数。

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解题步骤 1.1.2.17.1

将 $18 x$ 和 $0$ 相加。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (18 x) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.17.2

组合 $18$ 和 $\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{18 x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.17.3

组合 $\frac{18 x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{18 x^{2} x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.18

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{18 (x^{1} x^{2})}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.19

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{18 x^{1 + 2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.20

将 $1$ 和 $2$ 相加。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{18 x^{3}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.21

从 $18 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{2 (9 x^{3})}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.22

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.22.1

从 $2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{2 (9 x^{3})}{2 ({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.22.2

约去公因数。

解题步骤 1.1.2.22.3

重写表达式。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{9 x^{3}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.23

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{9 x^{3}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x)) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.24

将 $2$ 移到 ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{9 x^{3}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.25

用公分母合并 $\frac{9 x^{3}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ 。

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解题步骤 1.1.2.25.1

移动 ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{9 x^{3}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.25.2

要将 $2 x {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{9 x^{3}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.25.3

在公分母上合并分子。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{9 x^{3} + 2 x {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.26

通过指数相加将 ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.2.26.1

移动 ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{9 x^{3} + 2 x ({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.26.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{9 x^{3} + 2 x {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.26.3

在公分母上合并分子。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{9 x^{3} + 2 x {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.26.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{9 x^{3} + 2 x {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.26.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{9 x^{3} + 2 x {(9 x^{2} + 1)}^{1}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.27

合并分数。

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解题步骤 1.1.2.27.1

化简 $2 x {(9 x^{2} + 1)}^{1}$ 。

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.27.2

组合 ${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 和 $\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{{(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1))}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.27.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 移动到分母。

$\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.28

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.29

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.29.1

将 $\frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 0$

解题步骤 1.1.2.29.2

将 $\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.30

化简。

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解题步骤 1.1.2.30.1

对 $x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

解题步骤 1.1.2.30.2

运用分配律。

$\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2}) + 2 x \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

解题步骤 1.1.2.30.3

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.30.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.30.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{9 x^{3} + 2 \cdot 9 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

解题步骤 1.1.2.30.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.2.30.3.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{9 x^{3} + 2 \cdot 9 (x^{2} x) + 2 x \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

解题步骤 1.1.2.30.3.1.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.2.30.3.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{9 x^{3} + 2 \cdot 9 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

解题步骤 1.1.2.30.3.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{9 x^{3} + 2 \cdot 9 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

解题步骤 1.1.2.30.3.1.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{9 x^{3} + 2 \cdot 9 x^{3} + 2 x \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

解题步骤 1.1.2.30.3.1.3

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$\frac{9 x^{3} + 18 x^{3} + 2 x \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

解题步骤 1.1.2.30.3.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{9 x^{3} + 18 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

解题步骤 1.1.2.30.3.2

将 $9 x^{3}$ 和 $18 x^{3}$ 相加。

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

解题步骤 1.1.2.30.4

合并项。

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解题步骤 1.1.2.30.4.1

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.30.4.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2 \cdot 2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

解题步骤 1.1.2.30.4.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

解题步骤 1.1.2.30.4.2

将 ${({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.30.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

解题步骤 1.1.2.30.4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.30.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

解题步骤 1.1.2.30.4.2.2.2

重写表达式。

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{1})}$

解题步骤 1.1.2.30.4.3

化简。

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} (9 x^{2} + 1))}$

解题步骤 1.1.2.30.4.4

通过指数相加将 ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $9 x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 1.1.2.30.4.4.1

移动 $9 x^{2} + 1$ 。

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{(9 x^{2} + 1) {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{4}}$

解题步骤 1.1.2.30.4.4.2

将 $9 x^{2} + 1$ 乘以 ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.2.30.4.4.2.1

对 $9 x^{2} + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{1} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{4}}$

解题步骤 1.1.2.30.4.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{1 + \frac{1}{2}} x^{4}}$

解题步骤 1.1.2.30.4.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{4}}$

解题步骤 1.1.2.30.4.4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}} x^{4}}$

解题步骤 1.1.2.30.4.4.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{4}}$

解题步骤 1.1.2.30.5

重新排序项。

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.1.2.30.6

从 $27 x^{3} + 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1.2.30.6.1

从 $27 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (27 x^{2}) + 2 x}{x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.1.2.30.6.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (27 x^{2}) + x \cdot 2}{x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.1.2.30.6.3

从 $x (27 x^{2}) + x \cdot 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (27 x^{2} + 2)}{x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.1.2.30.7

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.30.7.1

从 $x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (27 x^{2} + 2)}{x (x^{3} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 1.1.2.30.7.2

约去公因数。

$\frac{x (27 x^{2} + 2)}{x (x^{3} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 1.1.2.30.7.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{27 x^{2} + 2}{x^{3} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{27 x^{2} + 2}{x^{3} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{27 x^{2} + 2}{x^{3} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{27 x^{2} + 2}{x^{3} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{27 x^{2} + 2}{x^{3} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$27 x^{2} + 2 = 0$

解题步骤 1.2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 1.2.3.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$27 x^{2} = - 2$

解题步骤 1.2.3.2

将 $27 x^{2} = - 2$ 中的每一项除以 $27$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.2.1

将 $27 x^{2} = - 2$ 中的每一项都除以 $27$ 。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{- 2}{27}$

解题步骤 1.2.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

约去 $27$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{- 2}{27}$

解题步骤 1.2.3.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 2}{27}$

解题步骤 1.2.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x^{2} = - \frac{2}{27}$

解题步骤 1.2.3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- \frac{2}{27}}$

解题步骤 1.2.3.4

化简 $\pm \sqrt{- \frac{2}{27}}$ 。

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解题步骤 1.2.3.4.1

将 $- \frac{2}{27}$ 重写为 ${(\frac{i}{3})}^{2} \frac{2}{3}$ 。

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解题步骤 1.2.3.4.1.1

将 $- 1$ 重写为 $i^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2}{27}}$

解题步骤 1.2.3.4.1.2

从 $2$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 2}{27}}$

解题步骤 1.2.3.4.1.3

从 $27$ 中因式分解出完全幂数 $3^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 2}{3^{2} \cdot 3}}$

解题步骤 1.2.3.4.1.4

重新整理分数 $\frac{1^{2} \cdot 2}{3^{2} \cdot 3}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{3})}^{2} \frac{2}{3})}$

解题步骤 1.2.3.4.1.5

将 $i^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}$ 重写为 ${(\frac{i}{3})}^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{3})}^{2} \frac{2}{3}}$

解题步骤 1.2.3.4.2

从根式下提出各项。

$x = \pm \frac{i}{3} \sqrt{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1.2.3.4.3

将 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 1.2.3.4.4

将 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{i}{3} (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

解题步骤 1.2.3.4.5

合并和化简分母。

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解题步骤 1.2.3.4.5.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 1.2.3.4.5.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 1.2.3.4.5.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 1.2.3.4.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.2.3.4.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.4.5.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 1.2.3.4.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.4.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.3.4.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.3.4.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.4.5.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.3.4.5.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 1.2.3.4.5.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 1.2.3.4.6

化简分子。

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解题步骤 1.2.3.4.6.1

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

解题步骤 1.2.3.4.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}$

解题步骤 1.2.3.4.7

乘以 $\frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}$ 。

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解题步骤 1.2.3.4.7.1

将 $\frac{i}{3}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ 。

$x = \pm \frac{i \sqrt{6}}{3 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.4.7.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$x = \pm \frac{i \sqrt{6}}{9}$

解题步骤 1.2.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{i \sqrt{6}}{9}$

解题步骤 1.2.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{i \sqrt{6}}{9}$

解题步骤 1.2.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{i \sqrt{6}}{9}, - \frac{i \sqrt{6}}{9}$

解题步骤 2

求 $f (x) = \frac{\sqrt{9 x^{2} + 1}}{x}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1

将 $\sqrt{9 x^{2} + 1}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$9 x^{2} + 1 \geq 0$

解题步骤 2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1

从不等式两边同时减去 $1$ 。

$9 x^{2} \geq - 1$

解题步骤 2.2.2

将 $9 x^{2} \geq - 1$ 中的每一项除以 $9$ 并化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $9 x^{2} \geq - 1$ 中的每一项都除以 $9$ 。

$\frac{9 x^{2}}{9} \geq \frac{- 1}{9}$

解题步骤 2.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.2.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 x^{2}}{9} \geq \frac{- 1}{9}$

解题步骤 2.2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \geq \frac{- 1}{9}$

解题步骤 2.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x^{2} \geq - \frac{1}{9}$

解题步骤 2.2.3

因为左边为偶次幂，所以对所有实数都为正。

所有实数

解题步骤 2.3

将 $\frac{\sqrt{9 x^{2} + 1}}{x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = 0$

解题步骤 2.4

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 2) = \frac{27 {(- 2)}^{2} + 2}{{(- 2)}^{3} {(9 {(- 2)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简分子。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 2) = \frac{27 \cdot 4 + 2}{{(- 2)}^{3} {(9 {(- 2)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2.1.2

将 $27$ 乘以 $4$ 。

$f'' (- 2) = \frac{108 + 2}{{(- 2)}^{3} {(9 {(- 2)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2.1.3

将 $108$ 和 $2$ 相加。

$f'' (- 2) = \frac{110}{{(- 2)}^{3} {(9 {(- 2)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 2) = \frac{110}{- 8 {(9 {(- 2)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2.2.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.2.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 2) = \frac{110}{- 8 {(9 \cdot 4 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2.2.2.2

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$f'' (- 2) = \frac{110}{- 8 {(36 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2.2.3

将 $36$ 和 $1$ 相加。

$f'' (- 2) = \frac{110}{- 8 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2.3

从 $110$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (- 2) = \frac{2 (55)}{- 8 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2.4

约去公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

从 $- 8 \cdot 37^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (- 2) = \frac{2 (55)}{2 (- 4 \cdot 37^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 4.2.4.2

约去公因数。

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 55}{2 (- 4 \cdot 37^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 4.2.4.3

重写表达式。

$f'' (- 2) = \frac{55}{- 4 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2.5

将负号移到分数的前面。

$f'' (- 2) = - \frac{55}{4 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2.6

最终答案为 $- \frac{55}{4 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$ 。

$- \frac{55}{4 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, 0)$ 上向下凹，因为 $f'' (- 2)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, 0)$ 上为向下凹

解题步骤 5

将区间 $(0, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2) = \frac{27 {(2)}^{2} + 2}{{(2)}^{3} {(9 {(2)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (2) = \frac{27 \cdot 4 + 2}{2^{3} {(9 \cdot 2^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $27$ 乘以 $4$ 。

$f'' (2) = \frac{108 + 2}{2^{3} {(9 \cdot 2^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3

将 $108$ 和 $2$ 相加。

$f'' (2) = \frac{110}{2^{3} {(9 \cdot 2^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.2.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (2) = \frac{110}{8 {(9 \cdot 2^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.2.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (2) = \frac{110}{8 {(9 \cdot 4 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.2.2.2

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$f'' (2) = \frac{110}{8 {(36 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.2.3

将 $36$ 和 $1$ 相加。

$f'' (2) = \frac{110}{8 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.3

从 $110$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (2) = \frac{2 (55)}{8 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.4

约去公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

从 $8 \cdot 37^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (2) = \frac{2 (55)}{2 (4 \cdot 37^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 5.2.4.2

约去公因数。

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 55}{2 (4 \cdot 37^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 5.2.4.3

重写表达式。

$f'' (2) = \frac{55}{4 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.5

最终答案为 $\frac{55}{4 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{55}{4 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(0, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (2)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(0, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 6

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, 0)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(0, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 7

微积分学 示例

微积分学示例