微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 - x^{2}}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 4$ 且 $g (x) = 4 - x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{(4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$f' (x) = \frac{(4 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{(4 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} (4)) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{(4 - x^{2}) (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{(4 - x^{2}) (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.4.2

将 $2$ 移到 $4 - x^{2}$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((4 - x^{2}) x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.5

根据加法法则， $4 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.6

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.7

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.8

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) (- \frac{d}{d x} x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.9

乘。

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解题步骤 1.1.1.2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x + 1 (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.9.2

将 $x^{2} + 4$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x + (x^{2} + 4) (2 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.11

将 $2$ 移到 $x^{2} + 4$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x + 2 \cdot ((x^{2} + 4) x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.1.3.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{(2 \cdot 4 + 2 (- x^{2})) x + 2 (x^{2} + 4) x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x + 2 (x^{2} + 4) x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x + (2 x^{2} + 2 \cdot 4) x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.4

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.3.5.1.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = \frac{8 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.5.1.2.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{8 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.5.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{8 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{8 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.1.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = \frac{8 x + 2 (- x^{3}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.1.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.5.1.4.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{8 x - 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.5.1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{8 x - 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.1.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = \frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.1.5

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = \frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 8 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.2

合并 $8 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 8 x$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.1.3.5.2.1

将 $- 2 x^{3}$ 和 $2 x^{3}$ 相加。

$f' (x) = \frac{8 x + 0 + 8 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.2.2

将 $8 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{8 x + 8 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.3

将 $8 x$ 和 $8 x$ 相加。

$f' (x) = \frac{16 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.6

重新排序项。

$f' (x) = \frac{16 x}{{(- x^{2} + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.7

化简分母。

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解题步骤 1.1.1.3.7.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{16 x}{{(- x^{2} + 2^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.7.2

将 $- x^{2}$ 和 $2^{2}$ 重新排序。

$f' (x) = \frac{16 x}{{(2^{2} - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.7.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = x$ 。

$f' (x) = \frac{16 x}{{((2 + x) (2 - x))}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.7.4

对 $(2 + x) (2 - x)$ 运用乘积法则。

$f' (x) = \frac{16 x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{16 x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}]$ 。

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}$ 。

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.1.2.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.3.2

将 ${(2 + x)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(2 + x)}^{2}$ 且 $g (x) = {(2 - x)}^{2}$ 。

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x ({(2 + x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 - x)}^{2}) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 2 - x$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 - x$ 。

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x ({(2 + x)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (2 - x)) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x ({(2 + x)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (2 - x)) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.5.3

使用 $2 - x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x ({(2 + x)}^{2} (2 (2 - x) \frac{d}{d x} (2 - x)) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.6

求微分。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $2$ 移到 ${(2 + x)}^{2}$ 的左侧。

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 \cdot ({(2 + x)}^{2} (2 - x)) \frac{d}{d x} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.6.2

根据加法法则， $2 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- x)) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.6.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.6.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) \frac{d}{d x} (- x) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.6.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) (- \frac{d}{d x} x) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.6.6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) \frac{d}{d x} x + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.6.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) \cdot 1 + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.6.8

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 2 + x$ 。

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解题步骤 1.1.2.7.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 + x$ 。

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.7.3

使用 $2 + x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} (2 (2 + x) \frac{d}{d x} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.8

求微分。

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解题步骤 1.1.2.8.1

将 $2$ 移到 ${(2 - x)}^{2}$ 的左侧。

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 \cdot ({(2 - x)}^{2} (2 + x)) \frac{d}{d x} (2 + x))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.8.2

根据加法法则， $2 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x) (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (x)))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.8.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x) (0 + \frac{d}{d x} (x)))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.8.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x) \frac{d}{d x} (x))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.8.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x) \cdot 1)}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.8.6

合并分数。

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解题步骤 1.1.2.8.6.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.8.6.2

组合 $16$ 和 $\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{16 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9

化简。

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解题步骤 1.1.2.9.1

对 ${(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (x) = \frac{16 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{16 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x)) - x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{16 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}) + 16 (- x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x))) + 16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.9.4.1

从 $16 {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} + 16 (- x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x))) + 16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))$ 中分解出因数 $16 (2 + x) (2 - x)$ 。

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解题步骤 1.1.2.9.4.1.1

从 $16 {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}$ 中分解出因数 $16 (2 + x) (2 - x)$ 。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x)) + 16 (- x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x))) + 16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.1.2

从 $16 (- x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x)))$ 中分解出因数 $16 (2 + x) (2 - x)$ 。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x)) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (- 2 (2 + x))) + 16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.1.3

从 $16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))$ 中分解出因数 $16 (2 + x) (2 - x)$ 。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x)) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (- 2 (2 + x))) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (2 (2 - x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.1.4

从 $16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x)) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (- 2 (2 + x)))$ 中分解出因数 $16 (2 + x) (2 - x)$ 。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) - x (- 2 (2 + x))) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (2 (2 - x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.1.5

从 $16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) - x (- 2 (2 + x))) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (2 (2 - x)))$ 中分解出因数 $16 (2 + x) (2 - x)$ 。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) - x (- 2 (2 + x)) - x (2 (2 - x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.2

合并指数。

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解题步骤 1.1.2.9.4.2.1

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) + 2 x (2 + x) - x (2 (2 - x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.3

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.9.4.3.1

使用 FOIL 方法展开 $(2 + x) (2 - x)$ 。

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解题步骤 1.1.2.9.4.3.1.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (2 (2 - x) + x (2 - x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.3.1.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.3.1.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.3.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.2.9.4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.9.4.3.2.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.3.2.1.3

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.3.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + 2 x - x \cdot x + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.3.2.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.2.9.4.3.2.1.5.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.3.2.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + 2 x - x^{2} + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.3.2.2

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 0 - x^{2} + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.3.2.3

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.3.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 2 x \cdot 2 + 2 x \cdot x - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.3.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x \cdot x - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.3.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.2.9.4.3.5.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 (x \cdot x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.3.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.3.6

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 - 2 x (- x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.3.7

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 x (- x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.3.8

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot (- 1 x \cdot x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.3.9

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.9.4.3.9.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.2.9.4.3.9.1.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot (- 1 (x \cdot x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.3.9.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot (- 1 x^{2}))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.3.9.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 2 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.4

合并 $4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 2 x^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.2.9.4.4.1

从 $4 x$ 中减去 $4 x$ 。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 2 x^{2} + 0 + 2 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.4.2

将 $4 - x^{2} + 2 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 2 x^{2} + 2 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.5

将 $- x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + x^{2} + 2 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4.6

将 $x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.5

合并项。

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解题步骤 1.1.2.9.5.1

将 ${({(2 + x)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.9.5.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{2 \cdot 2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.5.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{4} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.5.2

将 ${({(2 - x)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.9.5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 1.1.2.9.5.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.9.5.3

约去 $2 + x$ 和 ${(2 + x)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.9.5.3.1

从 $16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})$ 中分解出因数 $2 + x$ 。

$f'' (x) = \frac{(2 + x) ((16 (2 - x)) (4 + 3 x^{2}))}{{(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.9.5.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.9.5.3.2.1

从 ${(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}$ 中分解出因数 $2 + x$ 。

$f'' (x) = \frac{(2 + x) ((16 (2 - x)) (4 + 3 x^{2}))}{(2 + x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4})}$

解题步骤 1.1.2.9.5.3.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{(2 + x) ((16 (2 - x)) (4 + 3 x^{2}))}{(2 + x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4})}$

解题步骤 1.1.2.9.5.3.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{(16 (2 - x)) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.9.5.4

约去 $2 - x$ 和 ${(2 - x)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.9.5.4.1

从 $16 (2 - x) (4 + 3 x^{2})$ 中分解出因数 $2 - x$ 。

$f'' (x) = \frac{(2 - x) (16 (4 + 3 x^{2}))}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.9.5.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.9.5.4.2.1

从 ${(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}$ 中分解出因数 $2 - x$ 。

$f'' (x) = \frac{(2 - x) (16 (4 + 3 x^{2}))}{(2 - x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3})}$

解题步骤 1.1.2.9.5.4.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{(2 - x) (16 (4 + 3 x^{2}))}{(2 - x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3})}$

解题步骤 1.1.2.9.5.4.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$ 。

$\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$16 (4 + 3 x^{2}) = 0$

解题步骤 1.2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $16 (4 + 3 x^{2}) = 0$ 中的每一项除以 $16$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.1.1

将 $16 (4 + 3 x^{2}) = 0$ 中的每一项都除以 $16$ 。

$\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{16} = \frac{0}{16}$

解题步骤 1.2.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.1.2.1

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{16} = \frac{0}{16}$

解题步骤 1.2.3.1.2.1.2

用 $4 + 3 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$4 + 3 x^{2} = \frac{0}{16}$

解题步骤 1.2.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $16$ 。

$4 + 3 x^{2} = 0$

解题步骤 1.2.3.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$3 x^{2} = - 4$

解题步骤 1.2.3.3

将 $3 x^{2} = - 4$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.3.1

将 $3 x^{2} = - 4$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 4}{3}$

解题步骤 1.2.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 4}{3}$

解题步骤 1.2.3.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 4}{3}$

解题步骤 1.2.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$x^{2} = - \frac{4}{3}$

解题步骤 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$

解题步骤 1.2.3.5

化简 $\pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 1.2.3.5.1

将 $- \frac{4}{3}$ 重写为 $i^{2} \frac{2^{2}}{3}$ 。

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解题步骤 1.2.3.5.1.1

将 $- 1$ 重写为 $i^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{4}{3}}$

解题步骤 1.2.3.5.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2^{2}}{3}}$

解题步骤 1.2.3.5.2

从根式下提出各项。

$x = \pm i \sqrt{\frac{2^{2}}{3}}$

解题步骤 1.2.3.5.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \pm i \sqrt{\frac{4}{3}}$

解题步骤 1.2.3.5.4

将 $\sqrt{\frac{4}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 1.2.3.5.5

化简分子。

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解题步骤 1.2.3.5.5.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 1.2.3.5.5.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm i \frac{2}{\sqrt{3}}$

解题步骤 1.2.3.5.6

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm i (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

解题步骤 1.2.3.5.7

合并和化简分母。

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解题步骤 1.2.3.5.7.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 1.2.3.5.7.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 1.2.3.5.7.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 1.2.3.5.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.2.3.5.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.5.7.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 1.2.3.5.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.5.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.3.5.7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.3.5.7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.5.7.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.3.5.7.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 1.2.3.5.7.6.5

计算指数。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 1.2.3.5.8

组合 $i$ 和 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 。

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{3})}{3}$

解题步骤 1.2.3.5.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 1.2.3.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.3.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 1.2.3.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 1.2.3.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2

求 $f (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 - x^{2}}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{x^{2} + 4}{4 - x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$4 - x^{2} = 0$

解题步骤 2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$- x^{2} = - 4$

解题步骤 2.2.2

将 $- x^{2} = - 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $- x^{2} = - 4$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 2.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 2.2.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 2.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.2.3.1

用 $- 4$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} = 4$

解题步骤 2.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

解题步骤 2.2.4

化简 $\pm \sqrt{4}$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 2.2.4.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 2$

解题步骤 2.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2$

解题步骤 2.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2$

解题步骤 2.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2, - 2$

解题步骤 2.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 2, - 2}$

区间计数法：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 2, - 2}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, - 2)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 4) = \frac{16 (4 + 3 {(- 4)}^{2})}{{(2 - 4)}^{3} {(2 - (- 4))}^{3}}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

去掉圆括号。

$f'' (- 4) = \frac{16 (4 + 3 {(- 4)}^{2})}{{(2 - 4)}^{3} {(2 - (- 4))}^{3}}$

解题步骤 4.2.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 4) = \frac{16 (4 + 3 \cdot 16)}{{(2 - 4)}^{3} {(2 - (- 4))}^{3}}$

解题步骤 4.2.2.2

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$f'' (- 4) = \frac{16 (4 + 48)}{{(2 - 4)}^{3} {(2 - (- 4))}^{3}}$

解题步骤 4.2.2.3

将 $4$ 和 $48$ 相加。

$f'' (- 4) = \frac{16 \cdot 52}{{(2 - 4)}^{3} {(2 - (- 4))}^{3}}$

解题步骤 4.2.3

化简分母。

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解题步骤 4.2.3.1

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$f'' (- 4) = \frac{16 \cdot 52}{{(- 2)}^{3} {(2 - (- 4))}^{3}}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (- 4) = \frac{16 \cdot 52}{{(- 2)}^{3} {(2 + 4)}^{3}}$

解题步骤 4.2.3.3

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$f'' (- 4) = \frac{16 \cdot 52}{{(- 2)}^{3} \cdot 6^{3}}$

解题步骤 4.2.3.4

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 4) = \frac{16 \cdot 52}{- 8 \cdot 6^{3}}$

解题步骤 4.2.3.5

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 4) = \frac{16 \cdot 52}{- 8 \cdot 216}$

解题步骤 4.2.4

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.4.1

将 $16$ 乘以 $52$ 。

$f'' (- 4) = \frac{832}{- 8 \cdot 216}$

解题步骤 4.2.4.2

将 $- 8$ 乘以 $216$ 。

$f'' (- 4) = \frac{832}{- 1728}$

解题步骤 4.2.4.3

约去 $832$ 和 $- 1728$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.3.1

从 $832$ 中分解出因数 $64$ 。

$f'' (- 4) = \frac{64 (13)}{- 1728}$

解题步骤 4.2.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.4.3.2.1

从 $- 1728$ 中分解出因数 $64$ 。

$f'' (- 4) = \frac{64 \cdot 13}{64 \cdot - 27}$

解题步骤 4.2.4.3.2.2

约去公因数。

$f'' (- 4) = \frac{64 \cdot 13}{64 \cdot - 27}$

解题步骤 4.2.4.3.2.3

重写表达式。

$f'' (- 4) = \frac{13}{- 27}$

解题步骤 4.2.4.4

将负号移到分数的前面。

$f'' (- 4) = - \frac{13}{27}$

解题步骤 4.2.5

最终答案为 $- \frac{13}{27}$ 。

$- \frac{13}{27}$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, - 2)$ 上向下凹，因为 $f'' (- 4)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, - 2)$ 上为向下凹

解题步骤 5

将区间 $(- 2, 2)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = \frac{16 (4 + 3 {(0)}^{2})}{{(2 + 0)}^{3} {(2 - (0))}^{3}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

去掉圆括号。

$f'' (0) = \frac{16 (4 + 3 {(0)}^{2})}{{(2 + 0)}^{3} {(2 - (0))}^{3}}$

解题步骤 5.2.2

化简分子。

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解题步骤 5.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{16 (4 + 3 \cdot 0)}{{(2 + 0)}^{3} {(2 - (0))}^{3}}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{16 (4 + 0)}{{(2 + 0)}^{3} {(2 - (0))}^{3}}$

解题步骤 5.2.2.3

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$f'' (0) = \frac{16 \cdot 4}{{(2 + 0)}^{3} {(2 - (0))}^{3}}$

解题步骤 5.2.3

化简分母。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f'' (0) = \frac{16 \cdot 4}{2^{3} {(2 - (0))}^{3}}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{16 \cdot 4}{2^{3} {(2 + 0)}^{3}}$

解题步骤 5.2.3.3

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f'' (0) = \frac{16 \cdot 4}{2^{3} \cdot 2^{3}}$

解题步骤 5.2.3.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0) = \frac{16 \cdot 4}{8 \cdot 2^{3}}$

解题步骤 5.2.3.5

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0) = \frac{16 \cdot 4}{8 \cdot 8}$

解题步骤 5.2.4

化简表达式。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $16$ 乘以 $4$ 。

$f'' (0) = \frac{64}{8 \cdot 8}$

解题步骤 5.2.4.2

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$f'' (0) = \frac{64}{64}$

解题步骤 5.2.4.3

用 $64$ 除以 $64$ 。

$f'' (0) = 1$

解题步骤 5.2.5

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- 2, 2)$ 上向上凹，因为 $f'' (0)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- 2, 2)$ 上为向上凹

解题步骤 6

将区间 $(2, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (4) = \frac{16 (4 + 3 {(4)}^{2})}{{(2 + 4)}^{3} {(2 - (4))}^{3}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

去掉圆括号。

$f'' (4) = \frac{16 (4 + 3 {(4)}^{2})}{{(2 + 4)}^{3} {(2 - (4))}^{3}}$

解题步骤 6.2.2

化简分子。

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解题步骤 6.2.2.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (4) = \frac{16 (4 + 3 \cdot 16)}{{(2 + 4)}^{3} {(2 - (4))}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$f'' (4) = \frac{16 (4 + 48)}{{(2 + 4)}^{3} {(2 - (4))}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.3

将 $4$ 和 $48$ 相加。

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 52}{{(2 + 4)}^{3} {(2 - (4))}^{3}}$

解题步骤 6.2.3

化简分母。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 52}{6^{3} {(2 - (4))}^{3}}$

解题步骤 6.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 52}{6^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

解题步骤 6.2.3.3

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 52}{6^{3} {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 6.2.3.4

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 52}{216 {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 6.2.3.5

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 52}{216 \cdot - 8}$

解题步骤 6.2.4

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 6.2.4.1

将 $16$ 乘以 $52$ 。

$f'' (4) = \frac{832}{216 \cdot - 8}$

解题步骤 6.2.4.2

将 $216$ 乘以 $- 8$ 。

$f'' (4) = \frac{832}{- 1728}$

解题步骤 6.2.4.3

约去 $832$ 和 $- 1728$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.4.3.1

从 $832$ 中分解出因数 $64$ 。

$f'' (4) = \frac{64 (13)}{- 1728}$

解题步骤 6.2.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.4.3.2.1

从 $- 1728$ 中分解出因数 $64$ 。

$f'' (4) = \frac{64 \cdot 13}{64 \cdot - 27}$

解题步骤 6.2.4.3.2.2

约去公因数。

$f'' (4) = \frac{64 \cdot 13}{64 \cdot - 27}$

解题步骤 6.2.4.3.2.3

重写表达式。

$f'' (4) = \frac{13}{- 27}$

解题步骤 6.2.4.4

将负号移到分数的前面。

$f'' (4) = - \frac{13}{27}$

解题步骤 6.2.5

最终答案为 $- \frac{13}{27}$ 。

$- \frac{13}{27}$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(2, \infty)$ 上向下凹，因为 $f'' (4)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(2, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 7

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, - 2)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- 2, 2)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(2, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例