微积分学示例

$f (x) = \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{1 + \sqrt{x}}]$

解题步骤 1.1.1.1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{1 + x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.1.1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 - x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 - x^{\frac{1}{2}}] - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.1.3.1

根据加法法则， $1 - x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ 相加。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.7

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.8

合并分数。

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解题步骤 1.1.1.8.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.9

根据加法法则， $1 + x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.10

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.11

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 相加。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.13

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.14

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.15

在公分母上合并分子。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.16

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.16.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.16.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.17

将负号移到分数的前面。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.18

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.19

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20

化简。

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解题步骤 1.1.1.20.1

运用分配律。

$\frac{1 (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20.2

运用分配律。

$\frac{1 (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (- 1 \cdot 1 - - x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20.3

运用分配律。

$\frac{1 (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20.4

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.20.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.20.4.1.1

将 $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20.4.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20.4.1.3

约去 $x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.20.4.1.3.1

从 $- x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20.4.1.3.2

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20.4.1.3.3

约去公因数。

解题步骤 1.1.1.20.4.1.3.4

重写表达式。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20.4.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20.4.1.5

将 $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20.4.1.6

约去 $x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.20.4.1.6.1

从 $- - x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20.4.1.6.2

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- - 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20.4.1.6.3

约去公因数。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- - 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20.4.1.6.4

重写表达式。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20.4.1.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 (\frac{1}{2})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20.4.1.8

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20.4.2

合并 $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.1.20.4.2.1

将 $- \frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 相加。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20.4.2.2

将 $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- 1 - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20.4.4

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\frac{- 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20.4.5

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20.4.6

约去公因数。

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解题步骤 1.1.1.20.4.6.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20.4.6.2

约去公因数。

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20.4.6.3

重写表达式。

$\frac{\frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20.4.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20.5

合并项。

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解题步骤 1.1.1.20.5.1

将 $\frac{- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 重写为乘积形式。

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.20.5.2

将 $\frac{1}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{1}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.1.20.6

将 $- \frac{1}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 1}$ 。

$- \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.3.3

使用 $x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- (- {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.4

乘。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 ({(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 ${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.5

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}] + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.2.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 + x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.6.3

使用 $1 + x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.7

求微分。

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解题步骤 1.1.2.7.1

根据加法法则， $1 + x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.7.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.7.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 相加。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.7.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.9

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.10

在公分母上合并分子。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.11

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.11.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.11.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.12

化简项。

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解题步骤 1.1.2.12.1

将负号移到分数的前面。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.12.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.12.3

组合 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $2$ 。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.12.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.12.4.1

将 $2$ 移到 $x^{- \frac{1}{2}}$ 的左侧。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.12.4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.12.5

约去公因数。

解题步骤 1.1.2.12.6

重写表达式。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.12.7

组合 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} (1 + x^{\frac{1}{2}}) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.12.8

约去公因数。

解题步骤 1.1.2.12.9

化简。

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解题步骤 1.1.2.12.9.1

重写表达式。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 (1 + x^{\frac{1}{2}}) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.12.9.2

将 $1 + x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.14

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.15

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.16

在公分母上合并分子。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.17

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.17.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.17.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.18

化简项。

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解题步骤 1.1.2.18.1

将负号移到分数的前面。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.18.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.18.3

组合 ${(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + \frac{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.18.4

化简。

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解题步骤 1.1.2.18.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + \frac{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.18.4.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.18.5

在公分母上合并分子。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.19

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

解题步骤 1.1.2.20

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.20.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 乘以 $0$ 。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 0$

解题步骤 1.1.2.20.2

将 ${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ 和 $0$ 相加。

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.1.2.21

化简。

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解题步骤 1.1.2.21.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.1.2.21.2

对 $x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.1.2.21.3

合并项。

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解题步骤 1.1.2.21.3.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.21.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.1.2.21.3.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.21.3.1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.1.2.21.3.1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{x^{1} {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.1.2.21.3.2

化简。

$\frac{1}{x {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.1.2.21.3.3

将 ${({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.21.3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2 \cdot 2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.1.2.21.3.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.1.2.21.4

重新排序 $\frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ 的因式。

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.21.5.1

将 ${(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 重写为 $(1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})$ 。

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.5.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})$ 。

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解题步骤 1.1.2.21.5.2.1

运用分配律。

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 (1 + x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.5.2.2

运用分配律。

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.5.2.3

运用分配律。

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.2.21.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.21.5.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.5.3.1.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.5.3.1.3

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.5.3.1.4

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.2.21.5.3.1.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.5.3.1.4.2

在公分母上合并分子。

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.5.3.1.4.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.5.3.1.4.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{1}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.5.3.1.5

化简 $x^{1}$ 。

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.5.3.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} + x}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.5.4

将 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 和 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.5.5

重新排序项。

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.6

要将 $x^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$(x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.7

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$(\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.8

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.9

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.21.9.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.9.2

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.2.21.9.2.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.9.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.9.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x^{\frac{2}{2}} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.9.2.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{2 x^{1} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.9.3

化简 $2 x^{1}$ 。

$\frac{2 x + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.9.4

将 $2 x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{3 x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.9.5

以因式分解的形式重写 $3 x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1$ 。

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解题步骤 1.1.2.21.9.5.1

将 $x$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.9.5.2

使 $u = x^{\frac{1}{2}}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 u^{2} + 4 u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.9.5.3

分组因式分解。

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解题步骤 1.1.2.21.9.5.3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ 并且它们的和为 $b = 4$ 。

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解题步骤 1.1.2.21.9.5.3.1.1

从 $4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{3 u^{2} + 4 (u) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.9.5.3.1.2

把 $4$ 重写为 $1$ 加 $3$

$\frac{3 u^{2} + (1 + 3) u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.9.5.3.1.3

运用分配律。

$\frac{3 u^{2} + 1 u + 3 u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.9.5.3.1.4

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 u^{2} + u + 3 u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.9.5.3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.2.21.9.5.3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(3 u^{2} + u) + 3 u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.9.5.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{u (3 u + 1) + 1 (3 u + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.9.5.3.3

通过因式分解出最大公因数 $3 u + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(3 u + 1) (u + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.9.5.4

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.10

合并。

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4})}$

解题步骤 1.1.2.21.11

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.2.21.11.1

移动 $x$ 。

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot 1}{2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.11.2

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.2.21.11.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot 1}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot 1}{2 x^{1 + \frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.11.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.11.4

在公分母上合并分子。

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.11.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.12

将 $(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.13

重新排序项。

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.14

从 $(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}} + 1$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.21.15

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.21.15.1

从 $2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}} + 1$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3})}$

解题步骤 1.1.2.21.15.2

约去公因数。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3})}$

解题步骤 1.1.2.21.15.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{3 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$ 。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$3 x^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$

解题步骤 1.2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 1.2.3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$3 x^{\frac{1}{2}} = - 1$

解题步骤 1.2.3.2

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

解题步骤 1.2.3.3

化简指数。

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解题步骤 1.2.3.3.1

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.3.1.1

化简 ${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.3.3.1.1.1

对 $3 x^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$3^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

解题步骤 1.2.3.3.1.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

解题步骤 1.2.3.3.1.1.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.3.3.1.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

解题步骤 1.2.3.3.1.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.3.1.1.3.2.1

约去公因数。

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

解题步骤 1.2.3.3.1.1.3.2.2

重写表达式。

$9 x^{1} = {(- 1)}^{2}$

解题步骤 1.2.3.3.1.1.4

化简。

$9 x = {(- 1)}^{2}$

解题步骤 1.2.3.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.3.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$9 x = 1$

解题步骤 1.2.3.4

将 $9 x = 1$ 中的每一项除以 $9$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.4.1

将 $9 x = 1$ 中的每一项都除以 $9$ 。

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

解题步骤 1.2.3.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.4.2.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

解题步骤 1.2.3.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{9}$

解题步骤 1.2.4

排除不能使 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}} = 0$ 成立的解。

$无解$

解题步骤 2

求 $f (x) = \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x \geq 0$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$1 + \sqrt{x} = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\sqrt{x} = - 1$

解题步骤 2.3.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{x}}^{2} = {(- 1)}^{2}$

解题步骤 2.3.3

化简方程的两边。

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解题步骤 2.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.3.2.1

化简 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

解题步骤 2.3.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

解题步骤 2.3.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = {(- 1)}^{2}$

解题步骤 2.3.3.2.1.2

化简。

$x = {(- 1)}^{2}$

解题步骤 2.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.3.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = 1$

解题步骤 2.3.4

排除不能使 $1 + \sqrt{x} = 0$ 成立的解。

$无解$

解题步骤 2.4

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$[0, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $[0, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2) = \frac{3 {(2)}^{\frac{1}{2}} + 1}{2 {(2)}^{\frac{3}{2}} {({(2)}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

通过指数相加将 $2$ 乘以 ${(2)}^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $2$ 乘以 ${(2)}^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (2) = \frac{3 {(2)}^{\frac{1}{2}} + 1}{2 {(2)}^{\frac{3}{2}} {({(2)}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (2) = \frac{3 {(2)}^{\frac{1}{2}} + 1}{2^{1 + \frac{3}{2}} {({(2)}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.2.1.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f'' (2) = \frac{3 {(2)}^{\frac{1}{2}} + 1}{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} {({(2)}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.2.1.3

在公分母上合并分子。

$f'' (2) = \frac{3 {(2)}^{\frac{1}{2}} + 1}{2^{\frac{2 + 3}{2}} {({(2)}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.2.1.4

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$f'' (2) = \frac{3 {(2)}^{\frac{1}{2}} + 1}{2^{\frac{5}{2}} {({(2)}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

$f'' (2) = \frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 1}{2^{\frac{5}{2}} {(2^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.2.2

最终答案为 $\frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 1}{2^{\frac{5}{2}} {(2^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$ 。

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 1}{2^{\frac{5}{2}} {(2^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.3

图像在区间 $[0, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (2)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $[0, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例