微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{2 x - 1}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 1$ 且 $g (x) = 2 x - 1$ 。

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.4.2

将 $2$ 移到 $2 x - 1$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((2 x - 1) x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.5

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (2 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.10

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.2.10.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.10.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - 2 (x^{2} - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.1.3.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{(2 (2 x) + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 (2 x) x + 2 \cdot (- 1 x) - 2 (x^{2} - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 (2 x) x + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.4

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.3.4.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.4.1.1.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x)) + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.4.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.4.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.4.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.4.1.4

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.4.2

从 $4 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5

从 $2 x^{2} - 2 x + 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.5.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2}) - 2 x + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.3

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 (1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.4

从 $2 (x^{2}) + 2 (- x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x) + 2 (1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.5

从 $2 (x^{2} - x) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 (x^{2} - x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - x + 1}{{(2 x - 1)}^{2}}]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} - x + 1}{{(2 x - 1)}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - x + 1$ 且 $g (x) = {(2 x - 1)}^{2}$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{({(2 x - 1)}^{2})}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.3

求微分。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 ${({(2 x - 1)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2 \cdot 2}})$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

解题步骤 1.1.2.3.2

根据加法法则， $x^{2} - x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

解题步骤 1.1.2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

解题步骤 1.1.2.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

解题步骤 1.1.2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

解题步骤 1.1.2.3.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

解题步骤 1.1.2.3.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

解题步骤 1.1.2.3.8

将 $2 x - 1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

解题步骤 1.1.2.4

通过指数相加将 ${(2 x - 1)}^{2}$ 乘以 $2 x - 1$ 。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 ${(2 x - 1)}^{2}$ 乘以 $2 x - 1$ 。

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解题步骤 1.1.2.4.1.1

对 $2 x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

解题步骤 1.1.2.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2 + 1} - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

解题步骤 1.1.2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 2 x - 1$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x - 1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

解题步骤 1.1.2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - (x^{2} - x + 1) (2 u \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

解题步骤 1.1.2.5.3

使用 $2 x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - (x^{2} - x + 1) (2 (2 x - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

解题步骤 1.1.2.6

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - 2 (x^{2} - x + 1) ((2 x - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

解题步骤 1.1.2.6.2

从 ${(2 x - 1)}^{3} - 2 (x^{2} - x + 1) ((2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$ 中分解出因数 $2 x - 1$ 。

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解题步骤 1.1.2.6.2.1

从 ${(2 x - 1)}^{3}$ 中分解出因数 $2 x - 1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) ((2 x - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

解题步骤 1.1.2.6.2.2

从 $- 2 (x^{2} - x + 1) ((2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$ 中分解出因数 $2 x - 1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{2} + (2 x - 1) (- 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1)))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

解题步骤 1.1.2.6.2.3

从 $(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{2} + (2 x - 1) (- 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x - 1]))$ 中分解出因数 $2 x - 1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) ({(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1)))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

解题步骤 1.1.2.7

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.7.1

从 ${(2 x - 1)}^{4}$ 中分解出因数 $2 x - 1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) ({(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1)))}{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{3}})$

解题步骤 1.1.2.7.2

约去公因数。

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) ({(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1)))}{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{3}})$

解题步骤 1.1.2.7.3

重写表达式。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

解题步骤 1.1.2.8

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

解题步骤 1.1.2.9

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

解题步骤 1.1.2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

解题步骤 1.1.2.11

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (2 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

解题步骤 1.1.2.12

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{3}})$

解题步骤 1.1.2.13

合并分数。

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解题步骤 1.1.2.13.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{3}})$

解题步骤 1.1.2.13.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 4 (x^{2} - x + 1)}{{(2 x - 1)}^{3}})$

解题步骤 1.1.2.13.3

组合 $2$ 和 $\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 4 (x^{2} - x + 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 ({(2 x - 1)}^{2} - 4 (x^{2} - x + 1))}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14

化简。

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解题步骤 1.1.2.14.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 ({(2 x - 1)}^{2} - 4 x^{2} - 4 (- x) - 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 {(2 x - 1)}^{2} + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14.3

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.14.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.14.3.1.1

将 ${(2 x - 1)}^{2}$ 重写为 $(2 x - 1) (2 x - 1)$ 。

$f'' (x) = \frac{2 ((2 x - 1) (2 x - 1)) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 x - 1) (2 x - 1)$ 。

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解题步骤 1.1.2.14.3.1.2.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14.3.1.2.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14.3.1.2.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.2.14.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.14.3.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{2 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.2.14.3.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14.3.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14.3.1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14.3.1.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14.3.1.3.1.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14.3.1.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14.3.1.3.2

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x + 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14.3.1.4

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14.3.1.5

化简。

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解题步骤 1.1.2.14.3.1.5.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14.3.1.5.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 1 + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14.3.1.5.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14.3.1.6

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14.3.1.7

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 2 (4 x) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14.3.1.8

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 8 x + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14.3.1.9

乘以 $2 (- 4 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 1.1.2.14.3.1.9.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 8 x + 2 \cdot - 4}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14.3.1.9.2

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 8 x - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14.3.2

合并 $8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 8 x - 8$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.2.14.3.2.1

从 $8 x^{2}$ 中减去 $8 x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 8 x + 2 + 0 + 8 x - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14.3.2.2

将 $- 8 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 8 x + 2 + 8 x - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14.3.2.3

将 $- 8 x$ 和 $8 x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{0 + 2 - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14.3.2.4

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14.3.3

从 $2$ 中减去 $8$ 。

$f'' (x) = \frac{- 6}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14.4

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}}$ 。

$- \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$6 = 0$

解题步骤 1.2.3

因为 $6 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 2

求 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{2 x - 1}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{x^{2} - 1}{2 x - 1}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$2 x - 1 = 0$

解题步骤 2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 x = 1$

解题步骤 2.2.2

将 $2 x = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $2 x = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq \frac{1}{2}}$

区间计数法：

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq \frac{1}{2}}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, \frac{1}{2})$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = - \frac{6}{{(2 (0) - 1)}^{3}}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简分母。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = - \frac{6}{{(0 - 1)}^{3}}$

解题步骤 4.2.1.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$f'' (0) = - \frac{6}{{(- 1)}^{3}}$

解题步骤 4.2.1.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0) = - \frac{6}{- 1}$

解题步骤 4.2.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.1

用 $6$ 除以 $- 1$ 。

$f'' (0) = 6$

解题步骤 4.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$f'' (0) = 6$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $6$ 。

$6$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, \frac{1}{2})$ 上向上凹，因为 $f'' (0)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, \frac{1}{2})$ 上为向上凹

解题步骤 5

将区间 $(\frac{1}{2}, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (3) = - \frac{6}{{(2 (3) - 1)}^{3}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简分母。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (3) = - \frac{6}{{(6 - 1)}^{3}}$

解题步骤 5.2.1.2

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$f'' (3) = - \frac{6}{5^{3}}$

解题步骤 5.2.1.3

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (3) = - \frac{6}{125}$

解题步骤 5.2.2

最终答案为 $- \frac{6}{125}$ 。

$- \frac{6}{125}$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(\frac{1}{2}, \infty)$ 上向下凹，因为 $f'' (3)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(\frac{1}{2}, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 6

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, \frac{1}{2})$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(\frac{1}{2}, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 7

微积分学 示例

微积分学示例