微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1.1.1.1

将 $\frac{1}{x^{4}}$ 重写为 ${(x^{4})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

解题步骤 1.1.1.1.2

将 ${(x^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.1.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

解题步骤 1.1.1.1.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 4$ 。

$- 4 x^{- 5}$

解题步骤 1.1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.1.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 4 \frac{1}{x^{5}}$

解题步骤 1.1.1.3.2

合并项。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{x^{5}}$ 。

$\frac{- 4}{x^{5}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{4}{x^{5}}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{4}{x^{5}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

解题步骤 1.1.2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1.2.2.1

将 $\frac{1}{x^{5}}$ 重写为 ${(x^{5})}^{- 1}$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

解题步骤 1.1.2.2.2

将 ${(x^{5})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{5 \cdot - 1}]$

解题步骤 1.1.2.2.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{- 5}]$

解题步骤 1.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 5$ 。

$- 4 (- 5 x^{- 6})$

解题步骤 1.1.2.4

将 $- 5$ 乘以 $- 4$ 。

$20 x^{- 6}$

解题步骤 1.1.2.5

化简。

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解题步骤 1.1.2.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$20 \frac{1}{x^{6}}$

解题步骤 1.1.2.5.2

组合 $20$ 和 $\frac{1}{x^{6}}$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{x^{6}}$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{20}{x^{6}}$ 。

$\frac{20}{x^{6}}$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{20}{x^{6}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{20}{x^{6}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$20 = 0$

解题步骤 1.2.3

因为 $20 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 2

求 $f (x) = \frac{1}{x^{4}}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{x^{4}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{4} = 0$

解题步骤 2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

解题步骤 2.2.2

化简 $\pm \sqrt[4]{0}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{4}$ 。

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

解题步骤 2.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 2.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 2) = \frac{20}{{(- 2)}^{6}}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

对 $- 2$ 进行 $6$ 次方运算。

$f'' (- 2) = \frac{20}{64}$

解题步骤 4.2.2

约去 $20$ 和 $64$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (- 2) = \frac{4 (5)}{64}$

解题步骤 4.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.1

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (- 2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

解题步骤 4.2.2.2.2

约去公因数。

$f'' (- 2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

解题步骤 4.2.2.2.3

重写表达式。

$f'' (- 2) = \frac{5}{16}$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $\frac{5}{16}$ 。

$\frac{5}{16}$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, 0)$ 上向上凹，因为 $f'' (- 2)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, 0)$ 上为向上凹

解题步骤 5

将区间 $(0, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2) = \frac{20}{{(2)}^{6}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

对 $2$ 进行 $6$ 次方运算。

$f'' (2) = \frac{20}{64}$

解题步骤 5.2.2

约去 $20$ 和 $64$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (2) = \frac{4 (5)}{64}$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

解题步骤 5.2.2.2.2

约去公因数。

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

解题步骤 5.2.2.2.3

重写表达式。

$f'' (2) = \frac{5}{16}$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $\frac{5}{16}$ 。

$\frac{5}{16}$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(0, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (2)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(0, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 6

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, 0)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(0, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 7

微积分学 示例

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