微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

将 $\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$ 重写为 ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1})$

解题步骤 1.1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2} - 6 x - 7$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 6 x - 7$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)$

解题步骤 1.1.1.2.3

使用 $x^{2} - 6 x - 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)$

解题步骤 1.1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.1.3.1

根据加法法则， $x^{2} - 6 x - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

解题步骤 1.1.1.3.3

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 7))$

解题步骤 1.1.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7))$

解题步骤 1.1.1.3.5

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 7))$

解题步骤 1.1.1.3.6

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 + 0)$

解题步骤 1.1.1.3.7

将 $2 x - 6$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6)$

解题步骤 1.1.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (x) = - \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 x - 6)$

解题步骤 1.1.1.5

重新排序 $- \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$ 的因式。

$f' (x) = - (2 x - 6) \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (2 x - 6) \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [(2 x - 6) \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}]$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} ((2 x - 6) (\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}))$

解题步骤 1.1.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 2 x - 6$ 且 $g (x) = \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ 。

$f'' (x) = - ((2 x - 6) \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

解题步骤 1.1.2.3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ 重写为 ${({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = - ((2 x - 6) \frac{d}{d x} ({({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2})}^{- 1}) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

解题步骤 1.1.2.3.2

将 ${({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - ((2 x - 6) \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2 \cdot - 1}) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

解题步骤 1.1.2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - ((2 x - 6) \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2}) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

解题步骤 1.1.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 2}$ 且 $g (x) = x^{2} - 6 x - 7$ 。

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解题步骤 1.1.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 6 x - 7$ 。

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

解题步骤 1.1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

解题步骤 1.1.2.4.3

使用 $x^{2} - 6 x - 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

解题步骤 1.1.2.5

求微分。

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解题步骤 1.1.2.5.1

根据加法法则， $x^{2} - 6 x - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

解题步骤 1.1.2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

解题步骤 1.1.2.5.3

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

解题步骤 1.1.2.5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

解题步骤 1.1.2.5.5

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

解题步骤 1.1.2.5.6

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6 + 0)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

解题步骤 1.1.2.5.7

将 $2 x - 6$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

解题步骤 1.1.2.6

对 $2 x - 6$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} ((2 x - 6) (2 x - 6)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

解题步骤 1.1.2.7

对 $2 x - 6$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} ((2 x - 6) (2 x - 6)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

解题步骤 1.1.2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{1 + 1} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

解题步骤 1.1.2.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

解题步骤 1.1.2.10

根据加法法则， $2 x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6)))$

解题步骤 1.1.2.11

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)))$

解题步骤 1.1.2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6)))$

解题步骤 1.1.2.13

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- 6)))$

解题步骤 1.1.2.14

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 + 0))$

解题步骤 1.1.2.15

合并分数。

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解题步骤 1.1.2.15.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot 2)$

解题步骤 1.1.2.15.2

组合 $\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ 和 $2$ 。

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.16

要将 $- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ 。

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} + \frac{2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.17

组合 $- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2}$ 和 $\frac{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ 。

$f'' (x) = - (\frac{- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} + \frac{2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.18

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.19

通过指数相加将 ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3}$ 乘以 ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.2.19.1

移动 ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 2 ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2} {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3}) {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.19.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2 - 3} {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.19.3

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1} {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20

化简。

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解题步骤 1.1.2.20.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{- 2 \frac{1}{x^{2} - 6 x - 7} \cdot {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.20.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 6 x - 7$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.2.20.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 7$ ，和为 $- 6$ 。

$- 7, 1$

解题步骤 1.1.2.20.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$f'' (x) = - \frac{- 2 \frac{1}{(x - 7) (x + 1)} \cdot {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{(x - 7) (x + 1)}$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2.4

将 ${(2 x - 6)}^{2}$ 重写为 $(2 x - 6) (2 x - 6)$ 。

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot ((2 x - 6) (2 x - 6)) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2.5

使用 FOIL 方法展开 $(2 x - 6) (2 x - 6)$ 。

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解题步骤 1.1.2.20.2.5.1

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 x (2 x - 6) - 6 (2 x - 6)) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2.5.2

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x - 6)) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2.5.3

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.2.20.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.20.2.6.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2.6.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.2.20.2.6.1.2.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2.6.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2.6.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2.6.1.4

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} - 12 x - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2.6.1.5

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} - 12 x - 12 x - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2.6.1.6

将 $- 6$ 乘以 $- 6$ 。

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} - 12 x - 12 x + 36) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2.6.2

从 $- 12 x$ 中减去 $12 x$ 。

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} - 24 x + 36) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2.7

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2}) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2.8

化简。

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解题步骤 1.1.2.20.2.8.1

乘以 $- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} (4 x^{2})$ 。

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解题步骤 1.1.2.20.2.8.1.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 4 \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x^{2} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2.8.1.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{2}{(x - 7) (x + 1)}$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x^{2} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2.8.1.3

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x^{2} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2.8.1.4

组合 $\frac{- 8}{(x - 7) (x + 1)}$ 和 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2.8.2

乘以 $- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} (- 24 x)$ 。

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解题步骤 1.1.2.20.2.8.2.1

将 $- 24$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + 24 (\frac{2}{(x - 7) (x + 1)}) \cdot x - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2.8.2.2

组合 $24$ 和 $\frac{2}{(x - 7) (x + 1)}$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{24 \cdot 2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2.8.2.3

将 $24$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2.8.2.4

组合 $\frac{48}{(x - 7) (x + 1)}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2.8.3

乘以 $- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36$ 。

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解题步骤 1.1.2.20.2.8.3.1

将 $36$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - 36 \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2.8.3.2

组合 $- 36$ 和 $\frac{2}{(x - 7) (x + 1)}$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{- 36 \cdot 2}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2.8.3.3

将 $- 36$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{- 72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2.9

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.20.2.9.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{- \frac{(8) x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{- 72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.2.9.2

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.3

合并项。

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解题步骤 1.1.2.20.3.1

将 $\frac{- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ 乘以 $\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1)}$ 。

$f'' (x) = - (\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1)} \cdot \frac{- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.20.3.2

合并。

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.3.3

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + (x - 7) (x + 1) (\frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)}) + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + (x - 7) (x + 1) \cdot 2}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.3.4

约去 $(x - 7) (x + 1)$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.20.3.4.1

约去公因数。

解题步骤 1.1.2.20.3.4.2

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + (x - 7) (x + 1) \cdot 2}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.3.5

将 $2$ 移到 $(x - 7) (x + 1)$ 的左侧。

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.4

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.20.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = - \frac{- (x - 7) (x + 1) \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.4.2

约去 $(x - 7) (x + 1)$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.20.4.2.1

从 $- (x - 7) (x + 1)$ 中分解出因数 $(x - 7) (x + 1)$ 。

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- 1) (\frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.4.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) \cdot (- 1 \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.4.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{- (8 x^{2}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.4.3

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.4.4

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - (x - 7) (x + 1) \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.4.5

约去 $(x - 7) (x + 1)$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.20.4.5.1

从 $- (x - 7) (x + 1)$ 中分解出因数 $(x - 7) (x + 1)$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- 1) (\frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.4.5.2

约去公因数。

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x + (x - 7) (x + 1) \cdot (- 1 \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.4.5.3

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 1 \cdot 72 + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.4.6

将 $- 1$ 乘以 $72$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.4.7

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + (2 x + 2 \cdot - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.4.8

将 $2$ 乘以 $- 7$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + (2 x - 14) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.4.9

使用 FOIL 方法展开 $(2 x - 14) (x + 1)$ 。

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解题步骤 1.1.2.20.4.9.1

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x (x + 1) - 14 (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.4.9.2

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 14 (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.4.9.3

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 14 x - 14 \cdot 1}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.4.10

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.2.20.4.10.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.20.4.10.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.2.20.4.10.1.1.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 - 14 x - 14 \cdot 1}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.4.10.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 - 14 x - 14 \cdot 1}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.4.10.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x^{2} + 2 x - 14 x - 14 \cdot 1}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.4.10.1.3

将 $- 14$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x^{2} + 2 x - 14 x - 14}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.4.10.2

从 $2 x$ 中减去 $14 x$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x^{2} - 12 x - 14}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.4.11

将 $- 8 x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 48 x - 72 - 12 x - 14}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.4.12

从 $48 x$ 中减去 $12 x$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 36 x - 72 - 14}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.4.13

从 $- 72$ 中减去 $14$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 36 x - 86}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.4.14

从 $- 6 x^{2} + 36 x - 86$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.1.2.20.4.14.1

从 $- 6 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 36 x - 86}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.4.14.2

从 $36 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (18 x) - 86}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.4.14.3

从 $- 86$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (18 x) + 2 (- 43)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.4.14.4

从 $2 (- 3 x^{2}) + 2 (18 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x) + 2 (- 43)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.4.14.5

从 $2 (- 3 x^{2} + 18 x) + 2 (- 43)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.5

化简分母。

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解题步骤 1.1.2.20.5.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 6 x - 7$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.2.20.5.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 7$ ，和为 $- 6$ 。

$- 7, 1$

解题步骤 1.1.2.20.5.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{(x - 7) (x + 1) {((x - 7) (x + 1))}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.5.2

对 $(x - 7) (x + 1)$ 运用乘积法则。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{(x - 7) (x + 1) {(x - 7)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.5.3

合并指数。

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解题步骤 1.1.2.20.5.3.1

通过指数相加将 $x - 7$ 乘以 ${(x - 7)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.2.20.5.3.1.1

移动 ${(x - 7)}^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{2} (x - 7) (x + 1) {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.5.3.1.2

将 ${(x - 7)}^{2}$ 乘以 $x - 7$ 。

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解题步骤 1.1.2.20.5.3.1.2.1

对 $x - 7$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{2} (x - 7) (x + 1) {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.5.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{2 + 1} (x + 1) {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.5.3.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} (x + 1) {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.20.5.3.2

通过指数相加将 $x + 1$ 乘以 ${(x + 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.2.20.5.3.2.1

移动 ${(x + 1)}^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))}$

解题步骤 1.1.2.20.5.3.2.2

将 ${(x + 1)}^{2}$ 乘以 $x + 1$ 。

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解题步骤 1.1.2.20.5.3.2.2.1

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))}$

解题步骤 1.1.2.20.5.3.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{2 + 1}}$

解题步骤 1.1.2.20.5.3.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.20.6

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.20.7

从 $18 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) - (- 18 x) - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.20.8

从 $- (3 x^{2}) - (- 18 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 18 x) - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.20.9

将 $- 43$ 重写为 $- 1 (43)$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 18 x) - 1 \cdot 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.20.10

从 $- (3 x^{2} - 18 x) - 1 (43)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 18 x + 43))}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.20.11

将 $- (3 x^{2} - 18 x + 43)$ 重写为 $- 1 (3 x^{2} - 18 x + 43)$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 18 x + 43))}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.20.12

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.20.13

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}})$

解题步骤 1.1.2.20.14

将 $\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$ 。

$\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$2 (3 x^{2} - 18 x + 43) = 0$

解题步骤 1.2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $2 (3 x^{2} - 18 x + 43) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.1.1

将 $2 (3 x^{2} - 18 x + 43) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 1.2.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 1.2.3.1.2.1.2

用 $3 x^{2} - 18 x + 43$ 除以 $1$ 。

$3 x^{2} - 18 x + 43 = \frac{0}{2}$

解题步骤 1.2.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$3 x^{2} - 18 x + 43 = 0$

解题步骤 1.2.3.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 1.2.3.3

将 $a = 3$ 、 $b = - 18$ 和 $c = 43$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 43)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.4

化简。

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解题步骤 1.2.3.4.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.3.4.1.1

对 $- 18$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 43$ 。

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解题步骤 1.2.3.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.4.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $43$ 。

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 516}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.4.1.3

从 $324$ 中减去 $516$ 。

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.4.1.4

将 $- 192$ 重写为 $- 1 (192)$ 。

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (192)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ 。

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.4.1.7

将 $192$ 重写为 $8^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.2.3.4.1.7.1

从 $192$ 中分解出因数 $64$ 。

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.4.1.7.2

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.4.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{18 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.4.1.9

将 $8$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 1.2.3.4.3

化简 $\frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$ 。

$x = \frac{9 \pm 4 i \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 1.2.3.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 1.2.3.5.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.3.5.1.1

对 $- 18$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 43$ 。

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解题步骤 1.2.3.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.5.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $43$ 。

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 516}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.5.1.3

从 $324$ 中减去 $516$ 。

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.5.1.4

将 $- 192$ 重写为 $- 1 (192)$ 。

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (192)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ 。

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.5.1.7

将 $192$ 重写为 $8^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.2.3.5.1.7.1

从 $192$ 中分解出因数 $64$ 。

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.5.1.7.2

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.5.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{18 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.5.1.9

将 $8$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.5.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 1.2.3.5.3

化简 $\frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$ 。

$x = \frac{9 \pm 4 i \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 1.2.3.5.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{9 + 4 i \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 1.2.3.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 1.2.3.6.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.3.6.1.1

对 $- 18$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 43$ 。

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解题步骤 1.2.3.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.6.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $43$ 。

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 516}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.6.1.3

从 $324$ 中减去 $516$ 。

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.6.1.4

将 $- 192$ 重写为 $- 1 (192)$ 。

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.6.1.5

将 $\sqrt{- 1 (192)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ 。

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.6.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.6.1.7

将 $192$ 重写为 $8^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.2.3.6.1.7.1

从 $192$ 中分解出因数 $64$ 。

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.6.1.7.2

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.6.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{18 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.6.1.9

将 $8$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.3.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 1.2.3.6.3

化简 $\frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$ 。

$x = \frac{9 \pm 4 i \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 1.2.3.6.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{9 - 4 i \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 1.2.3.7

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{9 + 4 i \sqrt{3}}{3}, \frac{9 - 4 i \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2

求 $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} - 6 x - 7 = 0$

解题步骤 2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 6 x - 7$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 7$ ，和为 $- 6$ 。

$- 7, 1$

解题步骤 2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 7) (x + 1) = 0$

解题步骤 2.2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.2.3

将 $x - 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $x - 7$ 设为等于 $0$ 。

$x - 7 = 0$

解题步骤 2.2.3.2

在等式两边都加上 $7$ 。

$x = 7$

解题步骤 2.2.4

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.2.4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.2.5

最终解为使 $(x - 7) (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 7, - 1$

解题步骤 2.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 7) \cup (7, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq - 1, 7}$

区间计数法：

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 7) \cup (7, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq - 1, 7}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 7) \cup (7, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, - 1)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 4) = \frac{2 (3 {(- 4)}^{2} - 18 \cdot - 4 + 43)}{{((- 4) - 7)}^{3} {((- 4) + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简分子。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 4) = \frac{2 (3 \cdot 16 - 18 \cdot - 4 + 43)}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.2.1.2

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$f'' (- 4) = \frac{2 (48 - 18 \cdot - 4 + 43)}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.2.1.3

将 $- 18$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (- 4) = \frac{2 (48 + 72 + 43)}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.2.1.4

将 $48$ 和 $72$ 相加。

$f'' (- 4) = \frac{2 (120 + 43)}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.2.1.5

将 $120$ 和 $43$ 相加。

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $- 4$ 中减去 $7$ 。

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{{(- 11)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

解题步骤 4.2.2.2

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{{(- 11)}^{3} {(- 3)}^{3}}$

解题步骤 4.2.2.3

对 $- 11$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{- 1331 {(- 3)}^{3}}$

解题步骤 4.2.2.4

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{- 1331 \cdot - 27}$

解题步骤 4.2.3

乘。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $2$ 乘以 $163$ 。

$f'' (- 4) = \frac{326}{- 1331 \cdot - 27}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $- 1331$ 乘以 $- 27$ 。

$f'' (- 4) = \frac{326}{35937}$

解题步骤 4.2.4

最终答案为 $\frac{326}{35937}$ 。

$\frac{326}{35937}$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, - 1)$ 上向上凹，因为 $f'' (- 4)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - 1)$ 上为向上凹

解题步骤 5

将区间 $(- 1, 7)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = \frac{2 (3 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0 + 43)}{{((0) - 7)}^{3} {((0) + 1)}^{3}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{2 (3 \cdot 0 - 18 \cdot 0 + 43)}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{2 (0 - 18 \cdot 0 + 43)}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 18$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{2 (0 + 0 + 43)}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

解题步骤 5.2.1.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f'' (0) = \frac{2 (0 + 43)}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

解题步骤 5.2.1.5

将 $0$ 和 $43$ 相加。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

解题步骤 5.2.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $0$ 中减去 $7$ 。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{{(- 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{{(- 7)}^{3} \cdot 1^{3}}$

解题步骤 5.2.2.3

对 $- 7$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{- 343 \cdot 1^{3}}$

解题步骤 5.2.2.4

一的任意次幂都为一。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{- 343 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3

化简表达式。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $2$ 乘以 $43$ 。

$f'' (0) = \frac{86}{- 343 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $- 343$ 乘以 $1$ 。

$f'' (0) = \frac{86}{- 343}$

解题步骤 5.2.3.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (0) = - \frac{86}{343}$

解题步骤 5.2.4

最终答案为 $- \frac{86}{343}$ 。

$- \frac{86}{343}$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- 1, 7)$ 上向下凹，因为 $f'' (0)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- 1, 7)$ 上为向下凹

解题步骤 6

将区间 $(7, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $10$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (10) = \frac{2 (3 {(10)}^{2} - 18 \cdot 10 + 43)}{{((10) - 7)}^{3} {((10) + 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $- 18$ 乘以 $10$ 。

$f'' (10) = \frac{2 (3 \cdot 10^{2} - 180 + 43)}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 180$ 和 $43$ 相加。

$f'' (10) = \frac{2 (3 \cdot 10^{2} - 137)}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.1.3

Convert $- 137$ to scientific notation.

$f'' (10) = \frac{2 (3 \cdot 10^{2} - 1.37 \cdot 10^{2})}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.1.4

从 $3 \cdot 10^{2} - 1.37 \cdot 10^{2}$ 中分解出因数 $10^{2}$ 。

$f'' (10) = \frac{2 ((3 - 1.37) \cdot 10^{2})}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.1.5

从 $3$ 中减去 $1.37$ 。

$f'' (10) = \frac{2 \cdot 1.63 \cdot 10^{2}}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.1.6

将 $2$ 乘以 $1.63$ 。

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 10^{2}}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.1.7

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $10$ 中减去 $7$ 。

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{3^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $10$ 和 $1$ 相加。

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{3^{3} \cdot 11^{3}}$

解题步骤 6.2.2.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{27 \cdot 11^{3}}$

解题步骤 6.2.2.4

对 $11$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{27 \cdot 1331}$

解题步骤 6.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $3.26$ 乘以 $100$ 。

$f'' (10) = \frac{326}{27 \cdot 1331}$

解题步骤 6.2.3.2

将 $27$ 乘以 $1331$ 。

$f'' (10) = \frac{326}{35937}$

解题步骤 6.2.3.3

约去 $326$ 和 $35937$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.3.1

将 $326$ 重写为 $1 (326)$ 。

$f'' (10) = \frac{1 (326)}{35937}$

解题步骤 6.2.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.3.3.2.1

将 $35937$ 重写为 $1 (35937)$ 。

$f'' (10) = \frac{1 \cdot 326}{1 \cdot 35937}$

解题步骤 6.2.3.3.2.2

约去公因数。

$f'' (10) = \frac{1 \cdot 326}{1 \cdot 35937}$

解题步骤 6.2.3.3.2.3

重写表达式。

$f'' (10) = \frac{326}{35937}$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $\frac{326}{35937}$ 。

$\frac{326}{35937}$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(7, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (10)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(7, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 7

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - 1)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- 1, 7)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(7, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例