微积分学示例

$f (x) = x^{14} + 8 x^{2}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1.1

根据加法法则， $x^{14} + 8 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{14}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{14}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

解题步骤 1.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 14$ 。

$14 x^{13} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$14 x^{13} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$14 x^{13} + 8 (2 x)$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$f' (x) = 14 x^{13} + 16 x$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $14 x^{13} + 16 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [14 x^{13}] + \frac{d}{d x} [16 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [14 x^{13}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [14 x^{13}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

因为 $14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $14 x^{13}$ 对 $x$ 的导数是 $14 \frac{d}{d x} [x^{13}]$ 。

$14 \frac{d}{d x} [x^{13}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 13$ 。

$14 (13 x^{12}) + \frac{d}{d x} [16 x]$

解题步骤 1.1.2.2.3

将 $13$ 乘以 $14$ 。

$182 x^{12} + \frac{d}{d x} [16 x]$

解题步骤 1.1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [16 x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 x$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$182 x^{12} + 16 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$182 x^{12} + 16 \cdot 1$

解题步骤 1.1.2.3.3

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 182 x^{12} + 16$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $182 x^{12} + 16$ 。

$182 x^{12} + 16$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $182 x^{12} + 16 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$182 x^{12} + 16 = 0$

解题步骤 1.2.2

从等式两边同时减去 $16$ 。

$182 x^{12} = - 16$

解题步骤 1.2.3

将 $182 x^{12} = - 16$ 中的每一项除以 $182$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $182 x^{12} = - 16$ 中的每一项都除以 $182$ 。

$\frac{182 x^{12}}{182} = \frac{- 16}{182}$

解题步骤 1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $182$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{182 x^{12}}{182} = \frac{- 16}{182}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

用 $x^{12}$ 除以 $1$ 。

$x^{12} = \frac{- 16}{182}$

解题步骤 1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.3.1

约去 $- 16$ 和 $182$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.3.1.1

从 $- 16$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{12} = \frac{2 (- 8)}{182}$

解题步骤 1.2.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.3.1.2.1

从 $182$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{12} = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 91}$

解题步骤 1.2.3.3.1.2.2

约去公因数。

$x^{12} = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 91}$

解题步骤 1.2.3.3.1.2.3

重写表达式。

$x^{12} = \frac{- 8}{91}$

解题步骤 1.2.3.3.2

将负号移到分数的前面。

$x^{12} = - \frac{8}{91}$

解题步骤 1.2.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt[12]{- \frac{8}{91}}$

解题步骤 1.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt[12]{- \frac{8}{91}}$

解题步骤 1.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt[12]{- \frac{8}{91}}$

解题步骤 1.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt[12]{- \frac{8}{91}}, - \sqrt[12]{- \frac{8}{91}}$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = 182 {(0)}^{12} + 16$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = 182 \cdot 0 + 16$

解题步骤 4.2.1.2

将 $182$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 + 16$

解题步骤 4.2.2

将 $0$ 和 $16$ 相加。

$f'' (0) = 16$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $16$ 。

$16$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (0)$ 为正数。

图像向上凹

解题步骤 5

微积分学 示例

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