微积分学示例

$f (x) = x^{12} + 4 x^{2}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1.1

根据加法法则， $x^{12} + 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{12}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{12}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

解题步骤 1.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 12$ 。

$12 x^{11} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 x^{11} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 x^{11} + 4 (2 x)$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = 12 x^{11} + 8 x$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $12 x^{11} + 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 x^{11}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [12 x^{11}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{11}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{11}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{11}]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [x^{11}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 11$ 。

$12 (11 x^{10}) + \frac{d}{d x} [8 x]$

解题步骤 1.1.2.2.3

将 $11$ 乘以 $12$ 。

$132 x^{10} + \frac{d}{d x} [8 x]$

解题步骤 1.1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [8 x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$132 x^{10} + 8 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$132 x^{10} + 8 \cdot 1$

解题步骤 1.1.2.3.3

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 132 x^{10} + 8$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $132 x^{10} + 8$ 。

$132 x^{10} + 8$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $132 x^{10} + 8 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$132 x^{10} + 8 = 0$

解题步骤 1.2.2

从等式两边同时减去 $8$ 。

$132 x^{10} = - 8$

解题步骤 1.2.3

将 $132 x^{10} = - 8$ 中的每一项除以 $132$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $132 x^{10} = - 8$ 中的每一项都除以 $132$ 。

$\frac{132 x^{10}}{132} = \frac{- 8}{132}$

解题步骤 1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $132$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{132 x^{10}}{132} = \frac{- 8}{132}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

用 $x^{10}$ 除以 $1$ 。

$x^{10} = \frac{- 8}{132}$

解题步骤 1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.3.1

约去 $- 8$ 和 $132$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.3.1.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x^{10} = \frac{4 (- 2)}{132}$

解题步骤 1.2.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.3.1.2.1

从 $132$ 中分解出因数 $4$ 。

$x^{10} = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 33}$

解题步骤 1.2.3.3.1.2.2

约去公因数。

$x^{10} = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 33}$

解题步骤 1.2.3.3.1.2.3

重写表达式。

$x^{10} = \frac{- 2}{33}$

解题步骤 1.2.3.3.2

将负号移到分数的前面。

$x^{10} = - \frac{2}{33}$

解题步骤 1.2.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt[10]{- \frac{2}{33}}$

解题步骤 1.2.5

化简 $\pm \sqrt[10]{- \frac{2}{33}}$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $- 1$ 重写为 $i^{10}$ 。

$x = \pm \sqrt[10]{i^{10} \frac{2}{33}}$

解题步骤 1.2.5.2

从根式下提出各项。

$x = \pm i \sqrt[10]{\frac{2}{33}}$

解题步骤 1.2.5.3

将 $\sqrt[10]{\frac{2}{33}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[10]{2}}{\sqrt[10]{33}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt[10]{2}}{\sqrt[10]{33}}$

解题步骤 1.2.5.4

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt[10]{2}}{\sqrt[10]{33}}$ 。

$x = \pm \frac{i \sqrt[10]{2}}{\sqrt[10]{33}}$

解题步骤 1.2.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{i \sqrt[10]{2}}{\sqrt[10]{33}}$

解题步骤 1.2.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{i \sqrt[10]{2}}{\sqrt[10]{33}}$

解题步骤 1.2.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{i \sqrt[10]{2}}{\sqrt[10]{33}}, - \frac{i \sqrt[10]{2}}{\sqrt[10]{33}}$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = 132 {(0)}^{10} + 8$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = 132 \cdot 0 + 8$

解题步骤 4.2.1.2

将 $132$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 + 8$

解题步骤 4.2.2

将 $0$ 和 $8$ 相加。

$f'' (0) = 8$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $8$ 。

$8$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (0)$ 为正数。

图像向上凹

解题步骤 5

微积分学 示例

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