微积分学示例

$\frac{e^{x}}{6 + e^{x}}$

解题步骤 1

将 $\frac{e^{x}}{6 + e^{x}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{e^{x}}{6 + e^{x}}$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 2.1

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 6 + e^{x}$ 。

$\frac{(6 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [6 + e^{x}]}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [6 + e^{x}]}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.3

求微分。

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解题步骤 2.1.1.3.1

根据加法法则， $6 + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.3.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ 相加。

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.5

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 2.1.1.5.1

移动 $e^{x}$ 。

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.5.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.6

化简。

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解题步骤 2.1.1.6.1

运用分配律。

$\frac{6 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.6.2

化简分子。

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解题步骤 2.1.1.6.2.1

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 2.1.1.6.2.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{6 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.6.2.1.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{6 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.6.2.2

合并 $6 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ 中相反的项。

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解题步骤 2.1.1.6.2.2.1

从 $e^{2 x}$ 中减去 $e^{2 x}$ 。

$\frac{6 e^{x} + 0}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.6.2.2.2

将 $6 e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{6 e^{x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{6 e^{x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = {(6 + e^{x})}^{2}$ 。

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(6 + e^{x})}^{2}]}{{({(6 + e^{x})}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.3

将 ${({(6 + e^{x})}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(6 + e^{x})}^{2}]}{{(6 + e^{x})}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(6 + e^{x})}^{2}]}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [{(6 + e^{x})}^{2}]}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 6 + e^{x}$ 。

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解题步骤 2.1.2.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $6 + e^{x}$ 。

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [6 + e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 u \frac{d}{d x} [6 + e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3

使用 $6 + e^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 (6 + e^{x}) \frac{d}{d x} [6 + e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.6

求微分。

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解题步骤 2.1.2.6.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((6 + e^{x}) \frac{d}{d x} [6 + e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.6.2

根据加法法则， $6 + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((6 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [e^{x}]))}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.6.3

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((6 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]))}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.6.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ 相加。

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((6 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.7

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((6 + e^{x}) e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x + x} (6 + e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.9

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (6 + e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.10

从 ${(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (6 + e^{x})$ 中分解出因数 $6 + e^{x}$ 。

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解题步骤 2.1.2.10.1

从 ${(6 + e^{x})}^{2} e^{x}$ 中分解出因数 $6 + e^{x}$ 。

$6 \frac{(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x}) - 2 e^{2 x} (6 + e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.10.2

从 $- 2 e^{2 x} (6 + e^{x})$ 中分解出因数 $6 + e^{x}$ 。

$6 \frac{(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x}) + (6 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.10.3

从 $(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x}) + (6 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})$ 中分解出因数 $6 + e^{x}$ 。

$6 \frac{(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.11

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.11.1

从 ${(6 + e^{x})}^{4}$ 中分解出因数 $6 + e^{x}$ 。

$6 \frac{(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(6 + e^{x}) {(6 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.11.2

约去公因数。

$6 \frac{(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(6 + e^{x}) {(6 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.11.3

重写表达式。

$6 \frac{(6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.12

组合 $6$ 和 $\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{3}}$ 。

$\frac{6 ((6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.13

化简。

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解题步骤 2.1.2.13.1

运用分配律。

$\frac{6 (6 e^{x} + e^{x} e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.13.2

运用分配律。

$\frac{6 (6 e^{x}) + 6 (e^{x} e^{x}) + 6 (- 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.13.3

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.13.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.13.3.1.1

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$\frac{36 e^{x} + 6 (e^{x} e^{x}) + 6 (- 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.13.3.1.2

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 2.1.2.13.3.1.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{36 e^{x} + 6 e^{x + x} + 6 (- 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.13.3.1.2.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{36 e^{x} + 6 e^{2 x} + 6 (- 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.13.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{36 e^{x} + 6 e^{2 x} - 12 e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.13.3.2

从 $6 e^{2 x}$ 中减去 $12 e^{2 x}$ 。

$\frac{36 e^{x} - 6 e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.13.4

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.13.4.1

从 $36 e^{x} - 6 e^{2 x}$ 中分解出因数 $6$ 。

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解题步骤 2.1.2.13.4.1.1

从 $36 e^{x}$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (6 e^{x}) - 6 e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.13.4.1.2

从 $- 6 e^{2 x}$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (6 e^{x}) + 6 (- e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.13.4.1.3

从 $6 (6 e^{x}) + 6 (- e^{2 x})$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (6 e^{x} - e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.13.4.2

将 $e^{2 x}$ 重写为 ${(e^{x})}^{2}$ 。

$\frac{6 (6 e^{x} - {(e^{x})}^{2})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.13.4.3

使 $u = e^{x}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $e^{x}$ 。

$\frac{6 (6 u - u^{2})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.13.4.4

从 $6 u - u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

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解题步骤 2.1.2.13.4.4.1

从 $6 u$ 中分解出因数 $u$ 。

$\frac{6 (u \cdot 6 - u^{2})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.13.4.4.2

从 $- u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

$\frac{6 (u \cdot 6 + u (- u))}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.13.4.4.3

从 $u \cdot 6 + u (- u)$ 中分解出因数 $u$ 。

$\frac{6 (u (6 - u))}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.13.4.5

使用 $e^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{6 e^{x} (6 - e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{6 e^{x} (6 - e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$ 。

$\frac{6 e^{x} (6 - e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{6 e^{x} (6 - e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{6 e^{x} (6 - e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{3}} = 0$

解题步骤 2.2.2

将分子设为等于零。

$6 e^{x} (6 - e^{x}) = 0$

解题步骤 2.2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.2.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

$6 - e^{x} = 0$

解题步骤 2.2.3.2

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.3.2.1

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

解题步骤 2.2.3.2.2

求解 $x$ 的 $e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.3.2.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

解题步骤 2.2.3.2.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 2.2.3.2.2.3

$e^{x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 2.2.3.3

将 $6 - e^{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.3.3.1

将 $6 - e^{x}$ 设为等于 $0$ 。

$6 - e^{x} = 0$

解题步骤 2.2.3.3.2

求解 $x$ 的 $6 - e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.3.3.2.1

从等式两边同时减去 $6$ 。

$- e^{x} = - 6$

解题步骤 2.2.3.3.2.2

将 $- e^{x} = - 6$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.2.3.3.2.2.1

将 $- e^{x} = - 6$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

解题步骤 2.2.3.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.3.3.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

解题步骤 2.2.3.3.2.2.2.2

用 $e^{x}$ 除以 $1$ 。

$e^{x} = \frac{- 6}{- 1}$

解题步骤 2.2.3.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.3.2.2.3.1

用 $- 6$ 除以 $- 1$ 。

$e^{x} = 6$

解题步骤 2.2.3.3.2.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (6)$

解题步骤 2.2.3.3.2.4

展开左边。

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解题步骤 2.2.3.3.2.4.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (6)$

解题步骤 2.2.3.3.2.4.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (6)$

解题步骤 2.2.3.3.2.4.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (6)$

解题步骤 2.2.3.4

最终解为使 $6 e^{x} (6 - e^{x}) = 0$ 成立的所有值。

$x = \ln (6)$

解题步骤 3

求 $f (x) = \frac{e^{x}}{6 + e^{x}}$ 的定义域。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{e^{x}}{6 + e^{x}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$6 + e^{x} = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $6$ 。

$e^{x} = - 6$

解题步骤 3.2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (- 6)$

解题步骤 3.2.3

因为 $\ln (- 6)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 3.2.4

$e^{x} = - 6$ 无解

无解

解题步骤 3.3

定义域为全体实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, \ln (6)) \cup (\ln (6), \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, \ln (6))$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = \frac{6 e^{0} (6 - e^{0})}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$f'' (0) = \frac{6 e^{0} (6 - 1 \cdot 1)}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (0) = \frac{6 e^{0} (6 - 1)}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

解题步骤 5.2.1.3

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$f'' (0) = \frac{6 e^{0} \cdot 5}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

解题步骤 5.2.1.4

将 $5$ 乘以 $6$ 。

$f'' (0) = \frac{30 e^{0}}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

解题步骤 5.2.1.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$f'' (0) = \frac{30 \cdot 1}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

解题步骤 5.2.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$f'' (0) = \frac{30 \cdot 1}{{(6 + 1)}^{3}}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$f'' (0) = \frac{30 \cdot 1}{7^{3}}$

解题步骤 5.2.2.3

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0) = \frac{30 \cdot 1}{343}$

解题步骤 5.2.3

将 $30$ 乘以 $1$ 。

$f'' (0) = \frac{30}{343}$

解题步骤 5.2.4

最终答案为 $\frac{30}{343}$ 。

$\frac{30}{343}$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- \infty, \ln (6))$ 上向上凹，因为 $f'' (0)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, \ln (6))$ 上为向上凹

解题步骤 6

将区间 $(\ln (6), \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (4) = \frac{6 e^{4} (6 - e^{4})}{{(6 + e^{4})}^{3}}$

解题步骤 6.2

最终答案为 $\frac{6 e^{4} (6 - e^{4})}{{(6 + e^{4})}^{3}}$ 。

$\frac{6 e^{4} (6 - e^{4})}{{(6 + e^{4})}^{3}}$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(\ln (6), \infty)$ 上向下凹，因为 $f'' (4)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(\ln (6), \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 7

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, \ln (6))$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(\ln (6), \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例