微积分学示例

$y = x \ln (x)$

解题步骤 1

将 $y = x \ln (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = x \ln (x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.1.3.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3.2.2

重写表达式。

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \ln (x) \cdot 1$

解题步骤 2.1.3.4

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

求微分。

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解题步骤 2.2.1.1

根据加法法则， $1 + \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 2.2.1.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 2.2.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$0 + \frac{1}{x}$

解题步骤 2.2.3

将 $0$ 和 $\frac{1}{x}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{1}{x} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{1}{x} = 0$

解题步骤 3.2

将分子设为等于零。

$1 = 0$

解题步骤 3.3

因为 $1 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 4

找不到使二阶导数等于 $0$ 的值。

不存在拐点

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