微积分学示例

$y = x + \cos (2 x)$

解题步骤 1

将 $y = x + \cos (2 x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = x + \cos (2 x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $x + \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

解题步骤 2.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 2.1.2.1.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$f' (x) = 1 - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 2.1.2.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 2.1.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

解题步骤 2.1.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) \cdot 2$

解题步骤 2.1.2.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = 1 - 2 \sin (2 x)$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

求微分。

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解题步骤 2.2.1.1

根据加法法则， $1 - 2 \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

解题步骤 2.2.1.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

解题步骤 2.2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.2.2.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.2.2.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.2.2.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 2.2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

解题步骤 2.2.2.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

解题步骤 2.2.2.6

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

解题步骤 2.2.2.7

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x)$

解题步骤 2.2.3

从 $0$ 中减去 $4 \cos (2 x)$ 。

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x)$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 4 \cos (2 x)$ 。

$- 4 \cos (2 x)$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 4 \cos (2 x) = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- 4 \cos (2 x) = 0$

解题步骤 3.2

将 $- 4 \cos (2 x) = 0$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $- 4 \cos (2 x) = 0$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 \cos (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 \cos (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 $\cos (2 x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (2 x) = \frac{0}{- 4}$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

用 $0$ 除以 $- 4$ 。

$\cos (2 x) = 0$

解题步骤 3.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$2 x = \arccos (0)$

解题步骤 3.4

化简右边。

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解题步骤 3.4.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$2 x = \frac{π}{2}$

解题步骤 3.5

将 $2 x = \frac{π}{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.5.1

将 $2 x = \frac{π}{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 3.5.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 3.5.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 3.5.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 3.5.3.2

乘以 $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 3.5.3.2.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.5.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 3.6

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.7

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.7.1

化简。

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解题步骤 3.7.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.7.1.2

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.7.1.3

在公分母上合并分子。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 3.7.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 3.7.1.5

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$2 x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 3.7.2

将 $2 x = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.7.2.1

将 $2 x = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 3.7.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.7.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 3.7.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 3.7.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.7.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 3.7.2.3.2

乘以 $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 3.7.2.3.2.1

将 $\frac{3 π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.7.2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 3.8

求 $\cos (2 x)$ 的周期。

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解题步骤 3.8.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.8.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 3.8.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 3.8.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 3.8.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 3.9

$\cos (2 x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.10

合并答案。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{π}{4}$ 代入 $f (x) = x + \cos (2 x)$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $\frac{π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{4}) = (\frac{π}{4}) + \cos (2 (\frac{π}{4}))$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

解题步骤 4.1.2.1.1.2

约去公因数。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

解题步骤 4.1.2.1.1.3

重写表达式。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (\frac{π}{2})$

解题步骤 4.1.2.1.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + 0$

解题步骤 4.1.2.2

将 $\frac{π}{4}$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4}$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $\frac{π}{4}$ 。

$\frac{π}{4}$

解题步骤 4.2

通过将 $\frac{π}{4}$ 代入 $f (x) = x + \cos (2 x)$ 中求得的点为 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4}, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, \frac{π}{4})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0.68539816$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.68539816) = - 4 \cos (2 (0.68539816))$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

将 $2$ 乘以 $0.68539816$ 。

$f'' (0.68539816) = - 4 \cos (1.37079632)$

解题步骤 6.2.2

最终答案为 $- 4 \cos (1.37079632)$ 。

$- 4 \cos (1.37079632)$

解题步骤 6.3

在 $0.68539816$ ，二阶导数为 $- 0.79467732$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, \frac{π}{4})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, \frac{π}{4})$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(\frac{π}{4}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0.88539816$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.88539816) = - 4 \cos (2 (0.88539816))$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

将 $2$ 乘以 $0.88539816$ 。

$f'' (0.88539816) = - 4 \cos (1.77079632)$

解题步骤 7.2.2

最终答案为 $- 4 \cos (1.77079632)$ 。

$- 4 \cos (1.77079632)$

解题步骤 7.3

在 $0.88539816$ 处，二阶导数为 $0.79467732$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(\frac{π}{4}, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{π}{4}, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ 。

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$

解题步骤 9

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