微积分学示例

$y = x^{5} - 5 x^{4} + 3 x + 7$

解题步骤 1

将 $y = x^{5} - 5 x^{4} + 3 x + 7$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{5} - 5 x^{4} + 3 x + 7$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $x^{5} - 5 x^{4} + 3 x + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (7)$

解题步骤 2.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (7)$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f' (x) = 5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (7)$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 5 x^{4} - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (7)$

解题步骤 2.1.2.3

将 $4$ 乘以 $- 5$ 。

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (7)$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (7)$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (7)$

解题步骤 2.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} + 3 + \frac{d}{d x} (7)$

解题步骤 2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.4.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} + 3 + 0$

解题步骤 2.1.4.2

将 $5 x^{4} - 20 x^{3} + 3$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} + 3$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $5 x^{4} - 20 x^{3} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 2.2.2.3

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 2.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

因为 $- 20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 20 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 20 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 20 x^{3} - 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 2.2.3.3

将 $3$ 乘以 $- 20$ 。

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 2.2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.2.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x^{2} + 0$

解题步骤 2.2.4.2

将 $20 x^{3} - 60 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x^{2}$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $20 x^{3} - 60 x^{2}$ 。

$20 x^{3} - 60 x^{2}$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $20 x^{3} - 60 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$20 x^{3} - 60 x^{2} = 0$

解题步骤 3.2

从 $20 x^{3} - 60 x^{2}$ 中分解出因数 $20 x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1

从 $20 x^{3}$ 中分解出因数 $20 x^{2}$ 。

$20 x^{2} (x) - 60 x^{2} = 0$

解题步骤 3.2.2

从 $- 60 x^{2}$ 中分解出因数 $20 x^{2}$ 。

$20 x^{2} (x) + 20 x^{2} (- 3) = 0$

解题步骤 3.2.3

从 $20 x^{2} (x) + 20 x^{2} (- 3)$ 中分解出因数 $20 x^{2}$ 。

$20 x^{2} (x - 3) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

解题步骤 3.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 3.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 3.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 3.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 3.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 3.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.5

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 3.5.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 3.6

最终解为使 $20 x^{2} (x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 3$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $0$ 代入 $f (x) = x^{5} - 5 x^{4} + 3 x + 7$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4} + 3 (0) + 7$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 5 {(0)}^{4} + 3 (0) + 7$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 3 (0) + 7$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 3 (0) + 7$

解题步骤 4.1.2.1.4

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 7$

解题步骤 4.1.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 0 + 7$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 7$

解题步骤 4.1.2.2.3

将 $0$ 和 $7$ 相加。

$f (0) = 7$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $7$ 。

$7$

解题步骤 4.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = x^{5} - 5 x^{4} + 3 x + 7$ 中求得的点为 $(0, 7)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 7)$

解题步骤 4.3

将 $3$ 代入 $f (x) = x^{5} - 5 x^{4} + 3 x + 7$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = {(3)}^{5} - 5 {(3)}^{4} + 3 (3) + 7$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (3) = 243 - 5 {(3)}^{4} + 3 (3) + 7$

解题步骤 4.3.2.1.2

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (3) = 243 - 5 \cdot 81 + 3 (3) + 7$

解题步骤 4.3.2.1.3

将 $- 5$ 乘以 $81$ 。

$f (3) = 243 - 405 + 3 (3) + 7$

解题步骤 4.3.2.1.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = 243 - 405 + 9 + 7$

解题步骤 4.3.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.3.2.2.1

从 $243$ 中减去 $405$ 。

$f (3) = - 162 + 9 + 7$

解题步骤 4.3.2.2.2

将 $- 162$ 和 $9$ 相加。

$f (3) = - 153 + 7$

解题步骤 4.3.2.2.3

将 $- 153$ 和 $7$ 相加。

$f (3) = - 146$

解题步骤 4.3.2.3

最终答案为 $- 146$ 。

$- 146$

解题步骤 4.4

通过将 $3$ 代入 $f (x) = x^{5} - 5 x^{4} + 3 x + 7$ 中求得的点为 $(3, - 146)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(3, - 146)$

解题步骤 4.5

确定可能是拐点的点。

$(0, 7), (3, - 146)$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.1) = 20 {(- 0.1)}^{3} - 60 {(- 0.1)}^{2}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 0.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 0.1) = 20 \cdot - 0.001 - 60 {(- 0.1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $20$ 乘以 $- 0.001$ 。

$f'' (- 0.1) = - 0.02 - 60 {(- 0.1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3

对 $- 0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.1) = - 0.02 - 60 \cdot 0.01$

解题步骤 6.2.1.4

将 $- 60$ 乘以 $0.01$ 。

$f'' (- 0.1) = - 0.02 - 0.6$

解题步骤 6.2.2

从 $- 0.02$ 中减去 $0.6$ 。

$f'' (- 0.1) = - 0.62$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 0.62$ 。

$- 0.62$

解题步骤 6.3

在 $- 0.1$ ，二阶导数为 $- 0.62$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, 0)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 0)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(0, 3)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $\frac{3}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (\frac{3}{2}) = 20 {(\frac{3}{2})}^{3} - 60 {(\frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (\frac{3}{2}) = 20 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 60 {(\frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (\frac{3}{2}) = 20 (\frac{27}{2^{3}}) - 60 {(\frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (\frac{3}{2}) = 20 (\frac{27}{8}) - 60 {(\frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.4.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (\frac{3}{2}) = 4 (5) (\frac{27}{8}) - 60 {(\frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.4.2

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (\frac{3}{2}) = 4 \cdot (5 (\frac{27}{4 \cdot 2})) - 60 {(\frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.4.3

约去公因数。

$f'' (\frac{3}{2}) = 4 \cdot (5 (\frac{27}{4 \cdot 2})) - 60 {(\frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.4.4

重写表达式。

$f'' (\frac{3}{2}) = 5 (\frac{27}{2}) - 60 {(\frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.5

组合 $5$ 和 $\frac{27}{2}$ 。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{5 \cdot 27}{2} - 60 {(\frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.6

将 $5$ 乘以 $27$ 。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{135}{2} - 60 {(\frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.7

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{135}{2} - 60 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 7.2.1.8

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{135}{2} - 60 \frac{9}{2^{2}}$

解题步骤 7.2.1.9

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{135}{2} - 60 (\frac{9}{4})$

解题步骤 7.2.1.10

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.10.1

从 $- 60$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{135}{2} + 4 (- 15) (\frac{9}{4})$

解题步骤 7.2.1.10.2

约去公因数。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{135}{2} + 4 \cdot (- 15 (\frac{9}{4}))$

解题步骤 7.2.1.10.3

重写表达式。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{135}{2} - 15 \cdot 9$

解题步骤 7.2.1.11

将 $- 15$ 乘以 $9$ 。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{135}{2} - 135$

解题步骤 7.2.2

要将 $- 135$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{135}{2} - 135 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 7.2.3

组合 $- 135$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{135}{2} + \frac{- 135 \cdot 2}{2}$

解题步骤 7.2.4

在公分母上合并分子。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{135 - 135 \cdot 2}{2}$

解题步骤 7.2.5

化简分子。

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解题步骤 7.2.5.1

将 $- 135$ 乘以 $2$ 。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{135 - 270}{2}$

解题步骤 7.2.5.2

从 $135$ 中减去 $270$ 。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 135}{2}$

解题步骤 7.2.6

将负号移到分数的前面。

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{135}{2}$

解题步骤 7.2.7

最终答案为 $- \frac{135}{2}$ 。

$- \frac{135}{2}$

解题步骤 7.3

在 $\frac{3}{2}$ ，二阶导数为 $- 67.5$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(0, 3)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(0, 3)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(3, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $3.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (3.1) = 20 {(3.1)}^{3} - 60 {(3.1)}^{2}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $3.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (3.1) = 20 \cdot 29.791 - 60 {(3.1)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $20$ 乘以 $29.791$ 。

$f'' (3.1) = 595.82 - 60 {(3.1)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.3

对 $3.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (3.1) = 595.82 - 60 \cdot 9.61$

解题步骤 8.2.1.4

将 $- 60$ 乘以 $9.61$ 。

$f'' (3.1) = 595.82 - 576.6$

解题步骤 8.2.2

从 $595.82$ 中减去 $576.6$ 。

$f'' (3.1) = 19.22$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $19.22$ 。

$19.22$

解题步骤 8.3

在 $3.1$ 处，二阶导数为 $19.22$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(3, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(3, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(3, - 146)$ 。

$(3, - 146)$

解题步骤 10

微积分学 示例

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