微积分学示例

$y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

解题步骤 1

将 $y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

解题步骤 2.1.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 。

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

解题步骤 2.1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (x)$ 。

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 2.1.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 \cos (x) - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 2.1.3.2.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 2.1.3.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 2.1.3.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 \cos (x) - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

解题步骤 2.1.3.5

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 2.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.4.1

重新排序项。

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

解题步骤 2.1.4.2

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.2.1

将 $2 \cos (x)$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

解题步骤 2.1.4.2.2

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

解题步骤 2.1.4.2.3

使用正弦倍角公式。

$f' (x) = \sin (2 x) + 2 \cos (x)$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.2.2.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.2.2.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.2.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.2.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.2.2.5

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$2 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 2.2.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$2 \cos (2 x) + 2 (- \sin (x))$

解题步骤 2.2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$ 。

$2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $2 \cos (2 x) - 2 \sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$2 \cos (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 3.2.2

运用分配律。

$2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 3.2.4

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 3.3

对 $2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x)$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.3.1

从 $2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (1) - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 3.3.1.2

从 $- 4 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 3.3.1.3

从 $- 2 \sin (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x)) = 0$

解题步骤 3.3.1.4

从 $2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x)) = 0$

解题步骤 3.3.1.5

从 $2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x))$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x)) = 0$

解题步骤 3.3.2

因数。

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解题步骤 3.3.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 3.3.2.1.1

重新排序项。

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

解题步骤 3.3.2.1.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ 并且它们的和为 $b = - 1$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1

从 $- \sin (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

解题步骤 3.3.2.1.2.2

把 $- 1$ 重写为 $1$ 加 $- 2$

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) + 1) = 0$

解题步骤 3.3.2.1.2.3

运用分配律。

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

解题步骤 3.3.2.1.2.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

解题步骤 3.3.2.1.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

解题步骤 3.3.2.1.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$2 (\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 1 (- 2 \sin (x) + 1)) = 0$

解题步骤 3.3.2.1.4

通过因式分解出最大公因数 $- 2 \sin (x) + 1$ 来因式分解多项式。

$2 ((- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)) = 0$

解题步骤 3.3.2.2

去掉多余的括号。

$2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$

解题步骤 3.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

解题步骤 3.5

将 $- 2 \sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $- 2 \sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

解题步骤 3.5.2

求解 $x$ 的 $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 2 \sin (x) = - 1$

解题步骤 3.5.2.2

将 $- 2 \sin (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 3.5.2.2.1

将 $- 2 \sin (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 3.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 3.5.2.2.2.1.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 3.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.5.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

解题步骤 3.5.2.4

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.4.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$x = \frac{π}{6}$

解题步骤 3.5.2.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{6}$

解题步骤 3.5.2.6

化简 $π - \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 3.5.2.6.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 3.5.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 3.5.2.6.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 3.5.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 3.5.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 3.5.2.6.3.1

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

解题步骤 3.5.2.6.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 3.5.2.7

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.5.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.5.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.5.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.5.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.5.2.8

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.6

将 $\sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $\sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) + 1 = 0$

解题步骤 3.6.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.6.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\sin (x) = - 1$

解题步骤 3.6.2.2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- 1)$

解题步骤 3.6.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.6.2.3.1

$\arcsin (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{2}$ 。

$x = - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.6.2.4

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

解题步骤 3.6.2.5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 3.6.2.5.1

从 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

解题步骤 3.6.2.5.2

得出的角 $\frac{3 π}{2}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 3.6.2.6

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.6.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.6.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.6.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.6.2.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.6.2.7

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 3.6.2.7.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{2}$ 以求正角。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

解题步骤 3.6.2.7.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.6.2.7.3

合并分数。

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解题步骤 3.6.2.7.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.6.2.7.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 3.6.2.7.4

化简分子。

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解题步骤 3.6.2.7.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 3.6.2.7.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{2}$

解题步骤 3.6.2.7.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 3.6.2.8

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.7

最终解为使 $2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.8

合并答案。

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{π}{6}$ 代入 $f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $\frac{π}{6}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{π}{6}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

解题步骤 4.1.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.2.1

约去公因数。

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

解题步骤 4.1.2.1.2.2

重写表达式。

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

解题步骤 4.1.2.1.3

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{6}) = 1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.4

对 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.5

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.5.4.1

约去公因数。

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.5.4.2

重写表达式。

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{2^{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.5.5

计算指数。

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{2^{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.6

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{4}$

解题步骤 4.1.2.2

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

解题步骤 4.1.2.2.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{4 - 3}{4}$

解题步骤 4.1.2.2.3

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{1}{4}$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{4}$

解题步骤 4.2

通过将 $\frac{π}{6}$ 代入 $f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ 中求得的点为 $(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, \frac{π}{6})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0.42359877$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.42359877) = 2 \cos (2 (0.42359877)) - 2 \sin (0.42359877)$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

将 $2$ 乘以 $0.42359877$ 。

$f'' (0.42359877) = 2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$

解题步骤 6.2.2

最终答案为 $2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$ 。

$2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$

解题步骤 6.3

在 $0.42359877$ 处，二阶导数为 $0.50208433$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, \frac{π}{6})$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, \frac{π}{6})$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(\frac{π}{6}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0.62359877$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.62359877) = 2 \cos (2 (0.62359877)) - 2 \sin (0.62359877)$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

将 $2$ 乘以 $0.62359877$ 。

$f'' (0.62359877) = 2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$

解题步骤 7.2.2

最终答案为 $2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$ 。

$2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$

解题步骤 7.3

在 $0.62359877$ ，二阶导数为 $- 0.53195951$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(\frac{π}{6}, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(\frac{π}{6}, \infty)$ 上递减

解题步骤 8

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$ 。

$(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例