微积分学示例

$y = \sin (x) + \cos (x)$

解题步骤 1

将 $y = \sin (x) + \cos (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $\sin (x) + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

解题步骤 2.1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f' (x) = \cos (x) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

解题步骤 2.1.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f' (x) = \cos (x) - \sin (x)$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $\cos (x) - \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

解题步骤 2.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

解题步骤 2.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$f'' (x) = - \sin (x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

解题步骤 2.2.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = - \sin (x) - \cos (x)$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \sin (x) - \cos (x)$ 。

$- \sin (x) - \cos (x)$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \sin (x) - \cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

解题步骤 3.2

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 3.3

分离分数。

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 3.4

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 3.5

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 3.6

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1

约去公因数。

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 3.6.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 3.7

分离分数。

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 3.8

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 3.9

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

解题步骤 3.10

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$- \tan (x) - 1 = 0$

解题步骤 3.11

在等式两边都加上 $1$ 。

$- \tan (x) = 1$

解题步骤 3.12

将 $- \tan (x) = 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.12.1

将 $- \tan (x) = 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 3.12.2

化简左边。

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解题步骤 3.12.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 3.12.2.2

用 $\tan (x)$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 3.12.3

化简右边。

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解题步骤 3.12.3.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$\tan (x) = - 1$

解题步骤 3.13

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- 1)$

解题步骤 3.14

化简右边。

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解题步骤 3.14.1

$\arctan (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 3.15

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - \frac{π}{4} - π$

解题步骤 3.16

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 3.16.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{4} - π$ 。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

解题步骤 3.16.2

得出的角 $\frac{3 π}{4}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{4} - π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 3.17

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.17.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 3.17.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 3.17.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 3.17.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 3.18

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 3.18.1

将 $π$ 加到 $- \frac{π}{4}$ 以求正角。

$- \frac{π}{4} + π$

解题步骤 3.18.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 3.18.3

合并分数。

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解题步骤 3.18.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 3.18.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 3.18.4

化简分子。

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解题步骤 3.18.4.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 3.18.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{4}$

解题步骤 3.18.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 3.19

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{3 π}{4}$ 代入 $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $\frac{3 π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 4.1.2.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 4.1.2.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 4.1.2.1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.1.2.2

化简项。

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解题步骤 4.1.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.1.2.2.2

从 $\sqrt{2}$ 中减去 $\sqrt{2}$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{0}{2}$

解题步骤 4.1.2.2.3

用 $0$ 除以 $2$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4.2

通过将 $\frac{3 π}{4}$ 代入 $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ 中求得的点为 $(\frac{3 π}{4}, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\frac{3 π}{4}, 0)$

解题步骤 4.3

将 $\frac{3 π}{4}$ 代入 $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $\frac{3 π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 4.3.2.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 4.3.2.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 4.3.2.1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.3.2.2

化简项。

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解题步骤 4.3.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.3.2.2.2

从 $\sqrt{2}$ 中减去 $\sqrt{2}$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{0}{2}$

解题步骤 4.3.2.2.3

用 $0$ 除以 $2$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

解题步骤 4.3.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4.4

通过将 $\frac{3 π}{4}$ 代入 $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ 中求得的点为 $(\frac{3 π}{4}, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\frac{3 π}{4}, 0)$

解题步骤 4.5

确定可能是拐点的点。

$(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, \frac{3 π}{4}) \cup (\frac{3 π}{4}, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $2.25619449$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2.25619449) = - \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$

解题步骤 6.2

最终答案为 $- \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$ 。

$- \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$

解题步骤 6.3

在 $2.25619449$ ，二阶导数为 $- 0.14118577$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $2.45619449$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2.45619449) = - \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$

解题步骤 7.2

最终答案为 $- \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$ 。

$- \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$

解题步骤 7.3

在 $2.45619449$ 处，二阶导数为 $0.14118577$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$ .

$(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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