微积分学示例

$y = \ln (x^{2} + 1)$

解题步骤 1

将 $y = \ln (x^{2} + 1)$ 书写为一个函数。

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

解题步骤 2.1.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

解题步骤 2.1.1.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 2.1.2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x + 0)$

解题步骤 2.1.2.4

合并分数。

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解题步骤 2.1.2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x)$

解题步骤 2.1.2.4.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 。

$f' (x) = \frac{2}{x^{2} + 1} \cdot x$

解题步骤 2.1.2.4.3

组合 $\frac{2}{x^{2} + 1}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 1})$

解题步骤 2.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

解题步骤 2.2.3

求微分。

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解题步骤 2.2.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

解题步骤 2.2.3.2

将 $x^{2} + 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

解题步骤 2.2.3.3

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

解题步骤 2.2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

解题步骤 2.2.3.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

解题步骤 2.2.3.6

化简表达式。

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解题步骤 2.2.3.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

解题步骤 2.2.3.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

解题步骤 2.2.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

解题步骤 2.2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

解题步骤 2.2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

解题步骤 2.2.8

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

解题步骤 2.2.9

组合 $2$ 和 $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.10

化简。

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解题步骤 2.2.10.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.10.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.10.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.10.2.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

解题步骤 3.2

将分子设为等于零。

$- 2 x^{2} + 2 = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 3.3.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$- 2 x^{2} = - 2$

解题步骤 3.3.2

将 $- 2 x^{2} = - 2$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $- 2 x^{2} = - 2$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

解题步骤 3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 2}{- 2}$

解题步骤 3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.3.1

用 $- 2$ 除以 $- 2$ 。

$x^{2} = 1$

解题步骤 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 3.3.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 3.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 3.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 3.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $1$ 代入 $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \ln ({(1)}^{2} + 1)$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = \ln (1 + 1)$

解题步骤 4.1.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = \ln (2)$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $\ln (2)$ 。

$\ln (2)$

解题步骤 4.2

通过将 $1$ 代入 $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ 中求得的点为 $(1, \ln (2))$ 。这个点可能是一个拐点。

$(1, \ln (2))$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 代入 $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = \ln ({(- 1)}^{2} + 1)$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 1) = \ln (1 + 1)$

解题步骤 4.3.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (- 1) = \ln (2)$

解题步骤 4.3.2.3

最终答案为 $\ln (2)$ 。

$\ln (2)$

解题步骤 4.4

通过将 $- 1$ 代入 $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ 中求得的点为 $(- 1, \ln (2))$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 1, \ln (2))$

解题步骤 4.5

确定可能是拐点的点。

$(1, \ln (2)), (- 1, \ln (2))$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 1)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2 {(- 1.1)}^{2} + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 1.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2 \cdot 1.21 + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $1.21$ 。

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2.42 + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 2.42$ 和 $2$ 相加。

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

对 $- 1.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{(1.21 + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $1.21$ 和 $1$ 相加。

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{2.21}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.3

对 $2.21$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{4.8841}$

解题步骤 6.2.3

用 $- 0.42$ 除以 $4.8841$ 。

$f'' (- 1.1) = - 0.08599332$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $- 0.08599332$ 。

$- 0.08599332$

解题步骤 6.3

在 $- 1.1$ ，二阶导数为 $- 0.08599332$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, - 1)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 1)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(- 1, 1)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 2}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.3

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$f'' (0) = \frac{2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{2}{{(0 + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f'' (0) = \frac{2}{1^{2}}$

解题步骤 7.2.2.3

一的任意次幂都为一。

$f'' (0) = \frac{2}{1}$

解题步骤 7.2.3

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f'' (0) = 2$

解题步骤 7.2.4

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 7.3

在 $0$ 处，二阶导数为 $2$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- 1, 1)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 1, 1)$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(1, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $1.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1.1) = \frac{- 2 {(1.1)}^{2} + 2}{{({(1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简分子。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $1.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (1.1) = \frac{- 2 \cdot 1.21 + 2}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $1.21$ 。

$f'' (1.1) = \frac{- 2.42 + 2}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.3

将 $- 2.42$ 和 $2$ 相加。

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 8.2.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.2.1

对 $1.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{(1.21 + 1)}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.2

将 $1.21$ 和 $1$ 相加。

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{2.21}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.3

对 $2.21$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{4.8841}$

解题步骤 8.2.3

用 $- 0.42$ 除以 $4.8841$ 。

$f'' (1.1) = - 0.08599332$

解题步骤 8.2.4

最终答案为 $- 0.08599332$ 。

$- 0.08599332$

解题步骤 8.3

在 $1.1$ ，二阶导数为 $- 0.08599332$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(1, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(1, \infty)$ 上递减

解题步骤 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, \ln (2)), (1, \ln (2))$ .

$(- 1, \ln (2)), (1, \ln (2))$

解题步骤 10

微积分学 示例

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