微积分学示例

$y = 5 x^{4} + 3 x^{5}$

解题步骤 1

将 $y = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $5 x^{4} + 3 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

解题步骤 2.1.2.3

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$20 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$20 x^{3} + 3 (5 x^{4})$

解题步骤 2.1.3.3

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$20 x^{3} + 15 x^{4}$

解题步骤 2.1.4

重新排序项。

$f' (x) = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $15 x^{4} + 20 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2.3

将 $4$ 乘以 $15$ 。

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

解题步骤 2.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

因为 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $20 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$60 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$60 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

解题步骤 2.2.3.3

将 $3$ 乘以 $20$ 。

$f'' (x) = 60 x^{3} + 60 x^{2}$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $60 x^{3} + 60 x^{2}$ 。

$60 x^{3} + 60 x^{2}$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $60 x^{3} + 60 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$60 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

解题步骤 3.2

从 $60 x^{3} + 60 x^{2}$ 中分解出因数 $60 x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1

从 $60 x^{3}$ 中分解出因数 $60 x^{2}$ 。

$60 x^{2} (x) + 60 x^{2} = 0$

解题步骤 3.2.2

从 $60 x^{2}$ 中分解出因数 $60 x^{2}$ 。

$60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (1) = 0$

解题步骤 3.2.3

从 $60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (1)$ 中分解出因数 $60 x^{2}$ 。

$60 x^{2} (x + 1) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

解题步骤 3.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 3.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 3.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 3.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 3.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 3.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.5

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 3.5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 3.6

最终解为使 $60 x^{2} (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 1$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $0$ 代入 $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = 5 {(0)}^{4} + 3 {(0)}^{5}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 5 \cdot 0 + 3 {(0)}^{5}$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 3 {(0)}^{5}$

解题步骤 4.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 3 \cdot 0$

解题步骤 4.1.2.1.4

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 4.1.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ 中求得的点为 $(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 代入 $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = 5 {(- 1)}^{4} + 3 {(- 1)}^{5}$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- 1) = 5 \cdot 1 + 3 {(- 1)}^{5}$

解题步骤 4.3.2.1.2

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$f (- 1) = 5 + 3 {(- 1)}^{5}$

解题步骤 4.3.2.1.3

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- 1) = 5 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 4.3.2.1.4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 1) = 5 - 3$

解题步骤 4.3.2.2

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$f (- 1) = 2$

解题步骤 4.3.2.3

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 4.4

通过将 $- 1$ 代入 $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ 中求得的点为 $(- 1, 2)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 1, 2)$

解题步骤 4.5

确定可能是拐点的点。

$(0, 0), (- 1, 2)$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 1)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 1.1) = 60 {(- 1.1)}^{3} + 60 {(- 1.1)}^{2}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 1.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 1.1) = 60 \cdot - 1.331 + 60 {(- 1.1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $60$ 乘以 $- 1.331$ 。

$f'' (- 1.1) = - 79.86 + 60 {(- 1.1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3

对 $- 1.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 1.1) = - 79.86 + 60 \cdot 1.21$

解题步骤 6.2.1.4

将 $60$ 乘以 $1.21$ 。

$f'' (- 1.1) = - 79.86 + 72.6$

解题步骤 6.2.2

将 $- 79.86$ 和 $72.6$ 相加。

$f'' (- 1.1) = - 7.26$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 7.26$ 。

$- 7.26$

解题步骤 6.3

在 $- 1.1$ ，二阶导数为 $- 7.26$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, - 1)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 1)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(- 1, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- \frac{1}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 7.2.1.1.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.1.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (- \frac{1}{2^{3}}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (- \frac{1}{8}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.5.1

将 $- \frac{1}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (\frac{- 1}{8}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.5.2

从 $60$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (15) (\frac{- 1}{8}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.5.3

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (15 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.5.4

约去公因数。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (15 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.5.5

重写表达式。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{- 1}{2}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.6

组合 $15$ 和 $\frac{- 1}{2}$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 \cdot - 1}{2} + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.7

将 $15$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 15}{2} + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.8

将负号移到分数的前面。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.9

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 7.2.1.9.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

解题步骤 7.2.1.9.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

解题步骤 7.2.1.10

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

解题步骤 7.2.1.11

将 $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 (\frac{1^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 7.2.1.12

一的任意次幂都为一。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 (\frac{1}{2^{2}})$

解题步骤 7.2.1.13

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 (\frac{1}{4})$

解题步骤 7.2.1.14

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.14.1

从 $60$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 4 (15) (\frac{1}{4})$

解题步骤 7.2.1.14.2

约去公因数。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 4 \cdot (15 (\frac{1}{4}))$

解题步骤 7.2.1.14.3

重写表达式。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 15$

解题步骤 7.2.2

要将 $15$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 15 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 7.2.3

组合 $15$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + \frac{15 \cdot 2}{2}$

解题步骤 7.2.4

在公分母上合并分子。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 15 + 15 \cdot 2}{2}$

解题步骤 7.2.5

化简分子。

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解题步骤 7.2.5.1

将 $15$ 乘以 $2$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 15 + 30}{2}$

解题步骤 7.2.5.2

将 $- 15$ 和 $30$ 相加。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{2}$

解题步骤 7.2.6

最终答案为 $\frac{15}{2}$ 。

$\frac{15}{2}$

解题步骤 7.3

在 $- \frac{1}{2}$ 处，二阶导数为 $7.5$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- 1, 0)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 1, 0)$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(0, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.1) = 60 {(0.1)}^{3} + 60 {(0.1)}^{2}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $0.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0.1) = 60 \cdot 0.001 + 60 {(0.1)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $60$ 乘以 $0.001$ 。

$f'' (0.1) = 0.06 + 60 {(0.1)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.3

对 $0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.1) = 0.06 + 60 \cdot 0.01$

解题步骤 8.2.1.4

将 $60$ 乘以 $0.01$ 。

$f'' (0.1) = 0.06 + 0.6$

解题步骤 8.2.2

将 $0.06$ 和 $0.6$ 相加。

$f'' (0.1) = 0.66$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $0.66$ 。

$0.66$

解题步骤 8.3

在 $0.1$ 处，二阶导数为 $0.66$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(0, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(- 1, 2)$ 。

$(- 1, 2)$

解题步骤 10

微积分学 示例

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