微积分学示例

$y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

解题步骤 1

将 $y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ 书写为一个函数。

$f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

解题步骤 2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{4})]$ 。

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{2} \ln (\frac{x}{4}))$

解题步骤 2.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ 。

$f' (x) = 5 (x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 2.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{4}$ 。

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 2.1.3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 2.1.3.3

使用 $\frac{x}{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 2.1.4

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{x}{4}$ 。

$f' (x) = 5 (x^{2} (1 (\frac{4}{x}) \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 2.1.5

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.5.1

将 $\frac{4}{x}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{4}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 2.1.5.2

组合 $\frac{4}{x}$ 和 $x^{2}$ 。

$f' (x) = 5 (\frac{4 x^{2}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 2.1.5.3

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.5.3.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 2.1.5.3.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.5.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 2.1.5.3.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 2.1.5.3.2.3

约去公因数。

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 2.1.5.3.2.4

重写表达式。

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 2.1.5.3.2.5

用 $4 x$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = 5 (4 x \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 2.1.6

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 5 (4 x (\frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 2.1.7

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.7.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$f' (x) = 5 (x (\frac{4}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 2.1.7.2

组合 $\frac{4}{4}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 2.1.7.3

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.7.3.1

约去公因数。

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 2.1.7.3.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = 5 (x \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 2.1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 2.1.9

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 5 (x + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 2.1.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 5 (x + \ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

解题步骤 2.1.11

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.11.1

运用分配律。

$f' (x) = 5 x + 5 (\ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

解题步骤 2.1.11.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$f' (x) = 5 x + 10 \ln (\frac{x}{4}) x$

解题步骤 2.1.11.3

重新排序项。

$f' (x) = 10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [5 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{4})]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x \ln (\frac{x}{4})$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{x}{4})]$ 。

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

解题步骤 2.2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ 。

$f'' (x) = 10 (x \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

解题步骤 2.2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{4}$ 。

$f'' (x) = 10 (x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

解题步骤 2.2.2.3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

解题步骤 2.2.2.3.3

使用 $\frac{x}{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

解题步骤 2.2.2.4

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x))) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

解题步骤 2.2.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

解题步骤 2.2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

解题步骤 2.2.2.7

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{x}{4}$ 。

$f'' (x) = 10 (x (1 (\frac{4}{x}) \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

解题步骤 2.2.2.8

将 $\frac{4}{x}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

解题步骤 2.2.2.9

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x} \cdot \frac{1}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

解题步骤 2.2.2.10

将 $\frac{4}{x}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x \cdot 4}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

解题步骤 2.2.2.11

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{4 \cdot x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

解题步骤 2.2.2.12

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.12.1

约去公因数。

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{4 x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

解题步骤 2.2.2.12.2

重写表达式。

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

解题步骤 2.2.2.13

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

解题步骤 2.2.2.14

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.14.1

约去公因数。

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

解题步骤 2.2.2.14.2

重写表达式。

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

解题步骤 2.2.2.15

将 $\ln (\frac{x}{4})$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

解题步骤 2.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [5 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5 \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5 \cdot 1$

解题步骤 2.2.3.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5$

解题步骤 2.2.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + 10 \ln (\frac{x}{4}) + 5$

解题步骤 2.2.4.2

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.4.2.1

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 10 + 10 \ln (\frac{x}{4}) + 5$

解题步骤 2.2.4.2.2

将 $10$ 和 $5$ 相加。

$f'' (x) = 10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$ 。

$10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $10 \ln (\frac{x}{4}) + 15 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$10 \ln (\frac{x}{4}) + 15 = 0$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $15$ 。

$10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$

解题步骤 3.3

将 $10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$ 中的每一项除以 $10$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

将 $10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$ 中的每一项都除以 $10$ 。

$\frac{10 \ln (\frac{x}{4})}{10} = \frac{- 15}{10}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

约去 $10$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{10 \ln (\frac{x}{4})}{10} = \frac{- 15}{10}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $\ln (\frac{x}{4})$ 除以 $1$ 。

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{- 15}{10}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.1

约去 $- 15$ 和 $10$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.1.1

从 $- 15$ 中分解出因数 $5$ 。

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 (- 3)}{10}$

解题步骤 3.3.3.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.1.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.3.1.2.2

约去公因数。

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.3.1.2.3

重写表达式。

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 3.3.3.2

将负号移到分数的前面。

$\ln (\frac{x}{4}) = - \frac{3}{2}$

解题步骤 3.4

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{x}{4})} = e^{- \frac{3}{2}}$

解题步骤 3.5

使用对数的定义将 $\ln (\frac{x}{4}) = - \frac{3}{2}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- \frac{3}{2}} = \frac{x}{4}$

解题步骤 3.6

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.1

将方程重写为 $\frac{x}{4} = e^{- \frac{3}{2}}$ 。

$\frac{x}{4} = e^{- \frac{3}{2}}$

解题步骤 3.6.2

等式两边同时乘以 $4$ 。

$4 \frac{x}{4} = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

解题步骤 3.6.3

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.3.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.3.1.1

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.3.1.1.1

约去公因数。

$4 \frac{x}{4} = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

解题步骤 3.6.3.1.1.2

重写表达式。

$x = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

解题步骤 3.6.3.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.3.2.1

化简 $4 e^{- \frac{3}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.3.2.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x = 4 \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.6.3.2.1.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ 。

$x = \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ 代入 $f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ 以求 $y$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 {(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})}^{2} \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

对 $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{4^{2}}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

解题步骤 4.1.2.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

解题步骤 4.1.2.3

将 ${(e^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

解题步骤 4.1.2.3.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.3.2.1

约去公因数。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

解题步骤 4.1.2.3.2.2

重写表达式。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{3}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

解题步骤 4.1.2.4

乘以 $5 \frac{16}{e^{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.4.1

组合 $5$ 和 $\frac{16}{e^{3}}$ 。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{5 \cdot 16}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

解题步骤 4.1.2.4.2

将 $5$ 乘以 $16$ 。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

解题步骤 4.1.2.5

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{4})$

解题步骤 4.1.2.6

合并。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4})$

解题步骤 4.1.2.7

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.7.1

约去公因数。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4})$

解题步骤 4.1.2.7.2

重写表达式。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 4.1.2.8

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $e^{\frac{3}{2}}$ 移动到分子。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (e^{- \frac{3}{2}})$

解题步骤 4.1.2.9

通过将 $- \frac{3}{2}$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{- \frac{3}{2}})$ 。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \ln (e))$

解题步骤 4.1.2.10

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot 1)$

解题步骤 4.1.2.11

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2})$

解题步骤 4.1.2.12

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.12.1

将 $- \frac{3}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

解题步骤 4.1.2.12.2

从 $80$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{2 (40)}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

解题步骤 4.1.2.12.3

约去公因数。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{2 \cdot 40}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

解题步骤 4.1.2.12.4

重写表达式。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{40}{e^{3}} \cdot - 3$

解题步骤 4.1.2.13

组合 $\frac{40}{e^{3}}$ 和 $- 3$ 。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{40 \cdot - 3}{e^{3}}$

解题步骤 4.1.2.14

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.14.1

将 $40$ 乘以 $- 3$ 。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{- 120}{e^{3}}$

解题步骤 4.1.2.14.2

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{120}{e^{3}}$

解题步骤 4.1.2.15

最终答案为 $- \frac{120}{e^{3}}$ 。

$- \frac{120}{e^{3}}$

解题步骤 4.2

通过将 $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ 代入 $f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ 中求得的点为 $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0.79252064$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.79252064) = 10 \ln (\frac{0.79252064}{4}) + 15$

解题步骤 6.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

用 $0.79252064$ 除以 $4$ 。

$f'' (0.79252064) = 10 \ln (0.19813016) + 15$

解题步骤 6.2.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $10 \ln (0.19813016)$ 。

$f'' (0.79252064) = \ln ({0.19813016}^{10}) + 15$

解题步骤 6.2.1.3

对 $0.19813016$ 进行 $10$ 次方运算。

$f'' (0.79252064) = \ln (0.00000009) + 15$

解题步骤 6.2.2

最终答案为 $\ln (0.00000009) + 15$ 。

$\ln (0.00000009) + 15$

解题步骤 6.3

在 $0.79252064$ ，二阶导数为 $- 1.18831089$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0.99252064$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.99252064) = 10 \ln (\frac{0.99252064}{4}) + 15$

解题步骤 7.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1.1

用 $0.99252064$ 除以 $4$ 。

$f'' (0.99252064) = 10 \ln (0.24813016) + 15$

解题步骤 7.2.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $10 \ln (0.24813016)$ 。

$f'' (0.99252064) = \ln ({0.24813016}^{10}) + 15$

解题步骤 7.2.1.3

对 $0.24813016$ 进行 $10$ 次方运算。

$f'' (0.99252064) = \ln (0.00000088) + 15$

解题步骤 7.2.2

最终答案为 $\ln (0.00000088) + 15$ 。

$\ln (0.00000088) + 15$

解题步骤 7.3

在 $0.99252064$ 处，二阶导数为 $1.06198168$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$ 。

$(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例