微积分学示例

$\frac{x}{1 - x^{2}}$

解题步骤 1

将 $\frac{x}{1 - x^{2}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x}{1 - x^{2}}$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 2.1

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 1 - x^{2}$ 。

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(1 - x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.2.2

将 $1 - x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.2.3

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{1 - x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.2.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1 - x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.2.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$\frac{1 - x^{2} - x \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.2.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1 - x^{2} - x (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.2.7

乘。

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解题步骤 2.1.1.2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 - x^{2} + 1 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.2.7.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - x^{2} + x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1 - x^{2} + x (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 - x^{2} + 2 (x^{1} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 - x^{2} + 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 - x^{2} + 2 x^{1 + 1}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1 - x^{2} + 2 x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.7

将 $- x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$\frac{1 + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.8

重新排序项。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 1$ 且 $g (x) = {(- x^{2} + 1)}^{2}$ 。

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(- x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.2.1

将 ${({(- x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.2.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.2.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.2.5

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.2.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.2.5.2

将 $2$ 移到 ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = - x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 2.1.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x^{2} + 1$ 。

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.3.3

使用 $- x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) (2 (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.4

求微分。

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解题步骤 2.1.2.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.4.2

根据加法法则， $- x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.4.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- (2 x) + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.4.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- 2 x + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.4.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- 2 x + 0))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.4.7

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.4.7.1

将 $- 2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- 2 x))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.4.7.2

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x + 4 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (x))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5

化简。

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解题步骤 2.1.2.5.1

运用分配律。

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) ((- x^{2} + 1) (x))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.2

运用分配律。

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.5.3.1.1

将 ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ 重写为 $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ 。

$\frac{2 ((- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ 。

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解题步骤 2.1.2.5.3.1.2.1

运用分配律。

$\frac{2 (- x^{2} (- x^{2} + 1) + 1 (- x^{2} + 1)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.2.2

运用分配律。

$\frac{2 (- x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2} + 1)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.2.3

运用分配律。

$\frac{2 (- x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.2.5.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.5.3.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 (- 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.2.5.3.1.3.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{2 (- 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (- 1 \cdot - 1 x^{2 + 2} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.3.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 (- 1 \cdot - 1 x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (1 x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.3.1.4

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x^{4} - x^{2} + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.3.1.6

将 $- x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.3.1.7

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.3.2

从 $- x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{2 (x^{4} - 2 x^{2} + 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.4

运用分配律。

$\frac{(2 x^{4} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.5

化简。

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解题步骤 2.1.2.5.3.1.5.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(2 x^{4} - 4 x^{2} + 2 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 x^{4} - 4 x^{2} + 2) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.6

运用分配律。

$\frac{2 x^{4} x - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.7

化简。

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解题步骤 2.1.2.5.3.1.7.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.2.5.3.1.7.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.7.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.1.2.5.3.1.7.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{4}) - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.7.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.7.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.7.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.2.5.3.1.7.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.7.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.2.5.3.1.7.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x^{5} - 4 (x^{1} x^{2}) + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.7.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.7.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.8

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.9

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.5.3.1.9.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.2.5.3.1.9.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- (x \cdot x^{2}) + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.9.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.2.5.3.1.9.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- (x^{1} x^{2}) + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.9.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{1 + 2} + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.9.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{3} + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.9.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{3} + x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.10

使用 FOIL 方法展开 $(4 x^{2} + 4) (- x^{3} + x)$ 。

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解题步骤 2.1.2.5.3.1.10.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x^{2} (- x^{3} + x) + 4 (- x^{3} + x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.10.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x^{2} (- x^{3}) + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3} + x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.10.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x^{2} (- x^{3}) + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.11

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.2.5.3.1.11.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.5.3.1.11.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot - 1 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.11.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.1.2.5.3.1.11.1.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot - 1 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.11.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot - 1 x^{3 + 2} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.11.1.2.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot - 1 x^{5} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.11.1.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.11.1.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.2.5.3.1.11.1.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.11.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.2.5.3.1.11.1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 (x^{1} x^{2}) + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.11.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{1 + 2} + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.11.1.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{3} + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.11.1.5

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{3} - 4 x^{3} + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.11.2

从 $4 x^{3}$ 中减去 $4 x^{3}$ 。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 0 + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.1.11.3

将 $- 4 x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.2

从 $2 x^{5}$ 中减去 $4 x^{5}$ 。

$\frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.3.3

将 $2 x$ 和 $4 x$ 相加。

$\frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 6 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.4

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.5.4.1

从 $- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 6 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 2.1.2.5.4.1.1

从 $- 2 x^{5}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (- x^{4}) - 4 x^{3} + 6 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.4.1.2

从 $- 4 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 6 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.4.1.3

从 $6 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 2 x (3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.4.1.4

从 $2 x (- x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2})$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (- x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.4.1.5

从 $2 x (- x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (3)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (- x^{4} - 2 x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.4.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$\frac{2 x (- {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.4.3

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$\frac{2 x (- u^{2} - 2 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.4.4

分组因式分解。

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解题步骤 2.1.2.5.4.4.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ 并且它们的和为 $b = - 2$ 。

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解题步骤 2.1.2.5.4.4.1.1

从 $- 2 u$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$\frac{2 x (- u^{2} - 2 (u) + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.4.4.1.2

把 $- 2$ 重写为 $1$ 加 $- 3$

$\frac{2 x (- u^{2} + (1 - 3) u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.4.4.1.3

运用分配律。

$\frac{2 x (- u^{2} + 1 u - 3 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.4.4.1.4

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x (- u^{2} + u - 3 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.4.4.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.2.5.4.4.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{2 x ((- u^{2} + u) - 3 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.4.4.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{2 x (u (- u + 1) + 3 (- u + 1))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.4.4.3

通过因式分解出最大公因数 $- u + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{2 x ((- u + 1) (u + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.4.5

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2 x ((- x^{2} + 1) (x^{2} + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.4.6

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{2 x ((- x^{2} + 1^{2}) (x^{2} + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.4.7

将 $- x^{2}$ 和 $1^{2}$ 重新排序。

$\frac{2 x ((1^{2} - x^{2}) (x^{2} + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.4.8

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.5

化简分母。

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解题步骤 2.1.2.5.5.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.5.2

将 $- x^{2}$ 和 $1^{2}$ 重新排序。

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(1^{2} - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.5.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{((1 + x) (1 - x))}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.5.4

对 $(1 + x) (1 - x)$ 运用乘积法则。

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{4} {(1 - x)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.6

约去 $1 + x$ 和 ${(1 + x)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.5.6.1

从 $2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)$ 中分解出因数 $1 + x$ 。

$\frac{(1 + x) ((2 x (1 - x)) (x^{2} + 3))}{{(1 + x)}^{4} {(1 - x)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.5.6.2.1

从 ${(1 + x)}^{4} {(1 - x)}^{4}$ 中分解出因数 $1 + x$ 。

$\frac{(1 + x) ((2 x (1 - x)) (x^{2} + 3))}{(1 + x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4})}$

解题步骤 2.1.2.5.6.2.2

约去公因数。

$\frac{(1 + x) ((2 x (1 - x)) (x^{2} + 3))}{(1 + x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4})}$

解题步骤 2.1.2.5.6.2.3

重写表达式。

$\frac{(2 x (1 - x)) (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.7

约去 $1 - x$ 和 ${(1 - x)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.5.7.1

从 $(2 x (1 - x)) (x^{2} + 3)$ 中分解出因数 $1 - x$ 。

$\frac{(1 - x) ((2 x) (x^{2} + 3))}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.7.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.5.7.2.1

从 ${(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4}$ 中分解出因数 $1 - x$ 。

$\frac{(1 - x) ((2 x) (x^{2} + 3))}{(1 - x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3})}$

解题步骤 2.1.2.5.7.2.2

约去公因数。

$\frac{(1 - x) ((2 x) (x^{2} + 3))}{(1 - x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3})}$

解题步骤 2.1.2.5.7.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{(2 x) (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$ 。

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}} = 0$

解题步骤 2.2.2

将分子设为等于零。

$2 x (x^{2} + 3) = 0$

解题步骤 2.2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.2.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

解题步骤 2.2.3.2

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.2.3.3

将 $x^{2} + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.3.3.1

将 $x^{2} + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 3 = 0$

解题步骤 2.2.3.3.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 3 = 0$ 。

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解题步骤 2.2.3.3.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x^{2} = - 3$

解题步骤 2.2.3.3.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 3}$

解题步骤 2.2.3.3.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 3}$ 。

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解题步骤 2.2.3.3.2.3.1

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

解题步骤 2.2.3.3.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

解题步骤 2.2.3.3.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 2.2.3.3.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.2.3.3.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i \sqrt{3}$

解题步骤 2.2.3.3.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i \sqrt{3}$

解题步骤 2.2.3.3.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

解题步骤 2.2.3.4

最终解为使 $2 x (x^{2} + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

解题步骤 3

求 $f (x) = \frac{x}{1 - x^{2}}$ 的定义域。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{x}{1 - x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$1 - x^{2} = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- x^{2} = - 1$

解题步骤 3.2.2

将 $- x^{2} = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $- x^{2} = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.2.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} = 1$

解题步骤 3.2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 3.2.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 3.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 3.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 3.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 1, - 1}$

区间计数法：

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 1, - 1}$

解题步骤 4

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 1)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 4) = \frac{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(1 - 4)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简表达式。

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解题步骤 5.2.1.1

去掉圆括号。

$f'' (- 4) = \frac{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(1 - 4)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(1 - 4)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

解题步骤 5.2.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(- 3)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(- 3)}^{3} {(1 + 4)}^{3}}$

解题步骤 5.2.2.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(- 3)}^{3} \cdot 5^{3}}$

解题步骤 5.2.2.4

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{- 27 \cdot 5^{3}}$

解题步骤 5.2.2.5

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{- 27 \cdot 125}$

解题步骤 5.2.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (16 + 3)}{- 27 \cdot 125}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $16$ 和 $3$ 相加。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot 19}{- 27 \cdot 125}$

解题步骤 5.2.4

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $- 27$ 乘以 $125$ 。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot 19}{- 3375}$

解题步骤 5.2.4.2

将 $- 8$ 乘以 $19$ 。

$f'' (- 4) = \frac{- 152}{- 3375}$

解题步骤 5.2.4.3

将两个负数相除得到一个正数。

$f'' (- 4) = \frac{152}{3375}$

解题步骤 5.2.5

最终答案为 $\frac{152}{3375}$ 。

$\frac{152}{3375}$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- \infty, - 1)$ 上向上凹，因为 $f'' (- 4)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - 1)$ 上为向上凹

解题步骤 6

将区间 $(- 1, 0)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 0.5$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.5) = \frac{2 (- 0.5) ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{(1 - 0.5)}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简表达式。

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解题步骤 6.2.1.1

去掉圆括号。

$f'' (- 0.5) = \frac{2 (- 0.5) ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{(1 - 0.5)}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 0.5$ 。

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{(1 - 0.5)}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $1$ 中减去 $0.5$ 。

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{0.5}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 0.5$ 。

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{0.5}^{3} {(1 + 0.5)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.3

将 $1$ 和 $0.5$ 相加。

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{0.5}^{3} \cdot {1.5}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.4

对 $0.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{0.125 \cdot {1.5}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.5

对 $1.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{0.125 \cdot 3.375}$

解题步骤 6.2.3

化简分子。

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解题步骤 6.2.3.1

对 $- 0.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 (0.25 + 3)}{0.125 \cdot 3.375}$

解题步骤 6.2.3.2

将 $0.25$ 和 $3$ 相加。

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 \cdot 3.25}{0.125 \cdot 3.375}$

解题步骤 6.2.4

化简表达式。

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解题步骤 6.2.4.1

将 $0.125$ 乘以 $3.375$ 。

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 \cdot 3.25}{0.421875}$

解题步骤 6.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $3.25$ 。

$f'' (- 0.5) = \frac{- 3.25}{0.421875}$

解题步骤 6.2.4.3

用 $- 3.25$ 除以 $0.421875$ 。

$f'' (- 0.5) = - 7.\overline{703}$

解题步骤 6.2.5

最终答案为 $- 7.\overline{703}$ 。

$- 7.\overline{703}$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(- 1, 0)$ 上向下凹，因为 $f'' (- 0.5)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- 1, 0)$ 上为向下凹

解题步骤 7

将区间 $(0, 1)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0.5$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.5) = \frac{2 (0.5) ({(0.5)}^{2} + 3)}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

去掉圆括号。

$f'' (0.5) = \frac{2 (0.5) ({(0.5)}^{2} + 3)}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

解题步骤 7.2.2

化简分子。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $2$ 乘以 $0.5$ 。

$f'' (0.5) = \frac{1 ({0.5}^{2} + 3)}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

解题步骤 7.2.2.2

将 ${0.5}^{2} + 3$ 乘以 $1$ 。

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

解题步骤 7.2.3

化简分母。

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解题步骤 7.2.3.1

将 $1$ 和 $0.5$ 相加。

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{1.5}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

解题步骤 7.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $0.5$ 。

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{1.5}^{3} {(1 - 0.5)}^{3}}$

解题步骤 7.2.3.3

从 $1$ 中减去 $0.5$ 。

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{1.5}^{3} \cdot {0.5}^{3}}$

解题步骤 7.2.3.4

对 $1.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{3.375 \cdot {0.5}^{3}}$

解题步骤 7.2.3.5

对 $0.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{3.375 \cdot 0.125}$

解题步骤 7.2.4

化简分子。

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解题步骤 7.2.4.1

对 $0.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.5) = \frac{0.25 + 3}{3.375 \cdot 0.125}$

解题步骤 7.2.4.2

将 $0.25$ 和 $3$ 相加。

$f'' (0.5) = \frac{3.25}{3.375 \cdot 0.125}$

解题步骤 7.2.5

化简表达式。

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解题步骤 7.2.5.1

将 $3.375$ 乘以 $0.125$ 。

$f'' (0.5) = \frac{3.25}{0.421875}$

解题步骤 7.2.5.2

用 $3.25$ 除以 $0.421875$ 。

$f'' (0.5) = 7.\overline{703}$

解题步骤 7.2.6

最终答案为 $7.\overline{703}$ 。

$7.\overline{703}$

解题步骤 7.3

图像在区间 $(0, 1)$ 上向上凹，因为 $f'' (0.5)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(0, 1)$ 上为向上凹

解题步骤 8

将区间 $(1, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (4) = \frac{2 (4) ({(4)}^{2} + 3)}{{(1 + 4)}^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简表达式。

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解题步骤 8.2.1.1

去掉圆括号。

$f'' (4) = \frac{2 (4) ({(4)}^{2} + 3)}{{(1 + 4)}^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{{(1 + 4)}^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

解题步骤 8.2.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{5^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

解题步骤 8.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{5^{3} {(1 - 4)}^{3}}$

解题步骤 8.2.2.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{5^{3} {(- 3)}^{3}}$

解题步骤 8.2.2.4

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{125 {(- 3)}^{3}}$

解题步骤 8.2.2.5

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{125 \cdot - 27}$

解题步骤 8.2.3

化简分子。

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解题步骤 8.2.3.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (4) = \frac{8 (16 + 3)}{125 \cdot - 27}$

解题步骤 8.2.3.2

将 $16$ 和 $3$ 相加。

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 19}{125 \cdot - 27}$

解题步骤 8.2.4

化简表达式。

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解题步骤 8.2.4.1

将 $125$ 乘以 $- 27$ 。

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 19}{- 3375}$

解题步骤 8.2.4.2

将 $8$ 乘以 $19$ 。

$f'' (4) = \frac{152}{- 3375}$

解题步骤 8.2.4.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (4) = - \frac{152}{3375}$

解题步骤 8.2.5

最终答案为 $- \frac{152}{3375}$ 。

$- \frac{152}{3375}$

解题步骤 8.3

图像在区间 $(1, \infty)$ 上向下凹，因为 $f'' (4)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(1, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 9

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - 1)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- 1, 0)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(0, 1)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(1, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例