微积分学示例

$\sin^{2} (x)$

解题步骤 1

将 $\sin^{2} (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sin^{2} (x)$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 2.1

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 2.1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.1.1.1.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.1.1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 2.1.1.3

化简。

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解题步骤 2.1.1.3.1

重新排序 $2 \sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$2 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 2.1.1.3.2

将 $2 \cos (x)$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$\sin (x) (2 \cos (x))$

解题步骤 2.1.1.3.3

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 2.1.1.3.4

使用正弦倍角公式。

$f' (x) = \sin (2 x)$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.1.2.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.1.2.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.1.2.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

解题步骤 2.1.2.2.3

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.2.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\cos (2 x) \cdot 2$

解题步骤 2.1.2.2.3.2

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$f'' (x) = 2 \cos (2 x)$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $2 \cos (2 x)$ 。

$2 \cos (2 x)$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $2 \cos (2 x) = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$2 \cos (2 x) = 0$

解题步骤 2.2.2

将 $2 \cos (2 x) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $2 \cos (2 x) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.2.2.2.1.2

用 $\cos (2 x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (2 x) = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.2.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\cos (2 x) = 0$

解题步骤 2.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$2 x = \arccos (0)$

解题步骤 2.2.4

化简右边。

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解题步骤 2.2.4.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$2 x = \frac{π}{2}$

解题步骤 2.2.5

将 $2 x = \frac{π}{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.2.5.1

将 $2 x = \frac{π}{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 2.2.5.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.5.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 2.2.5.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 2.2.5.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.5.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 2.2.5.3.2

乘以 $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 2.2.5.3.2.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.5.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 2.2.6

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.2.7

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.7.1

化简。

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解题步骤 2.2.7.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.2.7.1.2

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.2.7.1.3

在公分母上合并分子。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 2.2.7.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 2.2.7.1.5

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$2 x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 2.2.7.2

将 $2 x = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.2.7.2.1

将 $2 x = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 2.2.7.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.7.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.7.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 2.2.7.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 2.2.7.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.7.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 2.2.7.2.3.2

乘以 $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 2.2.7.2.3.2.1

将 $\frac{3 π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.7.2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 2.2.8

求 $\cos (2 x)$ 的周期。

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解题步骤 2.2.8.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.2.8.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 2.2.8.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 2.2.8.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.8.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 2.2.8.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 2.2.9

$\cos (2 x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.2.10

合并答案。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = 2 \cos (2 (0))$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 2 \cos (0)$

解题步骤 5.2.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f'' (0) = 2 \cdot 1$

解题步骤 5.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (0) = 2$

解题步骤 5.2.4

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (0)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 6

微积分学 示例

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