微积分学示例

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

解题步骤 1

将 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 2.1

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- \frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

解题步骤 2.1.1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

解题步骤 2.1.1.1.3

使用 $- \frac{x^{2}}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

解题步骤 2.1.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.1.2.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x^{2}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.1.1.2.2

组合 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

解题步骤 2.1.1.2.4

化简项。

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解题步骤 2.1.1.2.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

解题步骤 2.1.1.2.4.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ 。

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

解题步骤 2.1.1.2.4.3

组合 $\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

解题步骤 2.1.1.2.4.4

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.2.4.4.1

从 $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2}$

解题步骤 2.1.1.2.4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.1.2.4.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

解题步骤 2.1.1.2.4.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.1.1.2.4.4.2.3

重写表达式。

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{1}$

解题步骤 2.1.1.2.4.4.2.4

用 $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ 除以 $1$ 。

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

解题步骤 2.1.1.2.4.5

将 $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 。

$- (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}] + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ 。

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解题步骤 2.1.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- \frac{x^{2}}{2}$ 。

$- (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.3.3

使用 $- \frac{x^{2}}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.4

求微分。

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解题步骤 2.1.2.4.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x^{2}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 2.1.2.4.2.1

组合 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- (x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.4.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ 。

$- (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.4.4

合并分数。

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解题步骤 2.1.2.4.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- (- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.4.4.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ 。

$- (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.4.4.3

组合 $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2}$ 和 $x$ 。

$- (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}}) x}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- (\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.8

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- (\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.8.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.8.2.1

从 $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.8.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.8.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 (1)} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.8.2.2.2

约去公因数。

$- (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 \cdot 1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.8.2.2.3

重写表达式。

$- (\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.8.2.2.4

用 $- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 除以 $1$ 。

$- (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 2.1.2.10

将 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}})$

解题步骤 2.1.2.11

化简。

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解题步骤 2.1.2.11.1

运用分配律。

$- (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}) - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

解题步骤 2.1.2.11.2

合并项。

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解题步骤 2.1.2.11.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}) - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

解题步骤 2.1.2.11.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

解题步骤 2.1.2.11.3

重新排序项。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

解题步骤 2.1.2.11.4

将 $e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 。

$x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

解题步骤 2.2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 中分解出因数 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

从 $x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 中分解出因数 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

解题步骤 2.2.2.1.2

从 $- e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 中分解出因数 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot - 1 = 0$

解题步骤 2.2.2.1.3

从 $e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot - 1$ 中分解出因数 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x^{2} - 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x^{2} - 1^{2}) = 0$

解题步骤 2.2.2.3

因数。

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解题步骤 2.2.2.3.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} ((x + 1) (x - 1)) = 0$

解题步骤 2.2.2.3.2

去掉多余的括号。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x + 1) (x - 1) = 0$

解题步骤 2.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.2.4

将 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

解题步骤 2.2.4.2

求解 $x$ 的 $e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.4.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- \frac{x^{2}}{2}}) = \ln (0)$

解题步骤 2.2.4.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 2.2.4.2.3

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$ 无解

无解

解题步骤 2.2.5

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.5.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.2.5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.2.6

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.6.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.2.6.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.2.7

最终解为使 $e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x + 1) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, 1$

解题步骤 3

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 1)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 4) = {(- 4)}^{2} e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 4) = 16 e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

解题步骤 5.2.1.2

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 4) = 16 e^{- \frac{16}{2}} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

解题步骤 5.2.1.3

用 $16$ 除以 $2$ 。

$f'' (- 4) = 16 e^{- 1 \cdot 8} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

解题步骤 5.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$f'' (- 4) = 16 e^{- 8} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

解题步骤 5.2.1.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (- 4) = 16 (\frac{1}{e^{8}}) - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

解题步骤 5.2.1.6

组合 $16$ 和 $\frac{1}{e^{8}}$ 。

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

解题步骤 5.2.1.7

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- \frac{16}{2}}$

解题步骤 5.2.1.8

用 $16$ 除以 $2$ 。

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 1 \cdot 8}$

解题步骤 5.2.1.9

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 8}$

解题步骤 5.2.1.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - \frac{1}{e^{8}}$

解题步骤 5.2.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f'' (- 4) = \frac{16 - 1}{e^{8}}$

解题步骤 5.2.2.2

从 $16$ 中减去 $1$ 。

$f'' (- 4) = \frac{15}{e^{8}}$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $\frac{15}{e^{8}}$ 。

$\frac{15}{e^{8}}$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- \infty, - 1)$ 上向上凹，因为 $f'' (- 4)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - 1)$ 上为向上凹

解题步骤 6

将区间 $(- 1, 1)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = {(0)}^{2} e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = 0 e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = 0 e^{- \frac{0}{2}} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

解题步骤 6.2.1.3

用 $0$ 除以 $2$ 。

$f'' (0) = 0 e^{- 0} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

解题步骤 6.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 e^{0} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

解题步骤 6.2.1.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

解题步骤 6.2.1.6

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$f'' (0) = 0 - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

解题步骤 6.2.1.7

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = 0 - e^{- \frac{0}{2}}$

解题步骤 6.2.1.8

用 $0$ 除以 $2$ 。

$f'' (0) = 0 - e^{- 0}$

解题步骤 6.2.1.9

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 - e^{0}$

解题步骤 6.2.1.10

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$f'' (0) = 0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 6.2.1.11

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (0) = 0 - 1$

解题步骤 6.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$f'' (0) = - 1$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(- 1, 1)$ 上向下凹，因为 $f'' (0)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- 1, 1)$ 上为向下凹

解题步骤 7

将区间 $(1, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (4) = {(4)}^{2} e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (4) = 16 e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

解题步骤 7.2.1.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (4) = 16 e^{- \frac{16}{2}} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

解题步骤 7.2.1.3

用 $16$ 除以 $2$ 。

$f'' (4) = 16 e^{- 1 \cdot 8} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

解题步骤 7.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$f'' (4) = 16 e^{- 8} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

解题步骤 7.2.1.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (4) = 16 (\frac{1}{e^{8}}) - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

解题步骤 7.2.1.6

组合 $16$ 和 $\frac{1}{e^{8}}$ 。

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

解题步骤 7.2.1.7

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- \frac{16}{2}}$

解题步骤 7.2.1.8

用 $16$ 除以 $2$ 。

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 1 \cdot 8}$

解题步骤 7.2.1.9

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 8}$

解题步骤 7.2.1.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - \frac{1}{e^{8}}$

解题步骤 7.2.2

合并分数。

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解题步骤 7.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f'' (4) = \frac{16 - 1}{e^{8}}$

解题步骤 7.2.2.2

从 $16$ 中减去 $1$ 。

$f'' (4) = \frac{15}{e^{8}}$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $\frac{15}{e^{8}}$ 。

$\frac{15}{e^{8}}$

解题步骤 7.3

图像在区间 $(1, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (4)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(1, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 8

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - 1)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- 1, 1)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(1, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例