微积分学示例

$x e^{- 3 x}$

解题步骤 1

将 $x e^{- 3 x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x e^{- 3 x}$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 2.1

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{- 3 x}$ 。

$x \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 3 x$ 。

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解题步骤 2.1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 3 x$ 。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.1.2.3

使用 $- 3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.1.3

求微分。

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解题步骤 2.1.1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 2.1.1.3.3.1

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$x (e^{- 3 x} \cdot - 3) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.1.3.3.2

将 $- 3$ 移到 $e^{- 3 x}$ 的左侧。

$x (- 3 \cdot e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot 1$

解题步骤 2.1.1.3.5

将 $e^{- 3 x}$ 乘以 $1$ 。

$x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}$

解题步骤 2.1.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.1.4.1

重新排序项。

$- 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$

解题步骤 2.1.1.4.2

将 $- 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = - 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $- 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

解题步骤 2.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x e^{- 3 x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x e^{- 3 x}]$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

解题步骤 2.1.2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{- 3 x}$ 。

$- 3 (x \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

解题步骤 2.1.2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 3 x$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- 3 x$ 。

$- 3 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

解题步骤 2.1.2.2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 3 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

解题步骤 2.1.2.2.3.3

使用 $- 3 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- 3 (x (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

解题步骤 2.1.2.2.4

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

解题步骤 2.1.2.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

解题步骤 2.1.2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

解题步骤 2.1.2.2.7

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (x (e^{- 3 x} \cdot - 3) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

解题步骤 2.1.2.2.8

将 $- 3$ 移到 $e^{- 3 x}$ 的左侧。

$- 3 (x (- 3 \cdot e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

解题步骤 2.1.2.2.9

将 $e^{- 3 x}$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

解题步骤 2.1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 3 x$ 。

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解题步骤 2.1.2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- 3 x$ 。

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 2.1.2.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 2.1.2.3.1.3

使用 $- 3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 2.1.2.3.2

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)$

解题步骤 2.1.2.3.4

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot - 3$

解题步骤 2.1.2.3.5

将 $- 3$ 移到 $e^{- 3 x}$ 的左侧。

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) - 3 e^{- 3 x}$

解题步骤 2.1.2.4

化简。

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解题步骤 2.1.2.4.1

运用分配律。

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x})) - 3 e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}$

解题步骤 2.1.2.4.2

合并项。

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解题步骤 2.1.2.4.2.1

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$9 (x (e^{- 3 x})) - 3 e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}$

解题步骤 2.1.2.4.2.2

从 $- 3 e^{- 3 x}$ 中减去 $3 e^{- 3 x}$ 。

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

解题步骤 2.1.2.4.3

重新排序项。

$9 e^{- 3 x} x - 6 e^{- 3 x}$

解题步骤 2.1.2.4.4

将 $9 e^{- 3 x} x - 6 e^{- 3 x}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = 9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$ 。

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x} = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$ 中分解出因数 $3 e^{- 3 x}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $9 x e^{- 3 x}$ 中分解出因数 $3 e^{- 3 x}$ 。

$3 e^{- 3 x} (3 x) - 6 e^{- 3 x} = 0$

解题步骤 2.2.2.2

从 $- 6 e^{- 3 x}$ 中分解出因数 $3 e^{- 3 x}$ 。

$3 e^{- 3 x} (3 x) + 3 e^{- 3 x} (- 2) = 0$

解题步骤 2.2.2.3

从 $3 e^{- 3 x} (3 x) + 3 e^{- 3 x} (- 2)$ 中分解出因数 $3 e^{- 3 x}$ 。

$3 e^{- 3 x} (3 x - 2) = 0$

解题步骤 2.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{- 3 x} = 0$

$3 x - 2 = 0$

解题步骤 2.2.4

将 $e^{- 3 x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $e^{- 3 x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{- 3 x} = 0$

解题步骤 2.2.4.2

求解 $x$ 的 $e^{- 3 x} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.4.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- 3 x}) = \ln (0)$

解题步骤 2.2.4.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 2.2.4.2.3

$e^{- 3 x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 2.2.5

将 $3 x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.5.1

将 $3 x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$3 x - 2 = 0$

解题步骤 2.2.5.2

求解 $x$ 的 $3 x - 2 = 0$ 。

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解题步骤 2.2.5.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$3 x = 2$

解题步骤 2.2.5.2.2

将 $3 x = 2$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.2.5.2.2.1

将 $3 x = 2$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

解题步骤 2.2.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.5.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

解题步骤 2.2.5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{2}{3}$

解题步骤 2.2.6

最终解为使 $3 e^{- 3 x} (3 x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{2}{3}$

解题步骤 3

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, \frac{2}{3})$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = 9 (0) \cdot e^{- 3 \cdot 0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 \cdot e^{- 3 \cdot 0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 \cdot e^{0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

解题步骤 5.2.1.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

解题步骤 5.2.1.4

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$f'' (0) = 0 - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

解题步骤 5.2.1.5

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 - 6 e^{0}$

解题步骤 5.2.1.6

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$f'' (0) = 0 - 6 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.7

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$f'' (0) = 0 - 6$

解题步骤 5.2.2

从 $0$ 中减去 $6$ 。

$f'' (0) = - 6$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 6$ 。

$- 6$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- \infty, \frac{2}{3})$ 上向下凹，因为 $f'' (0)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, \frac{2}{3})$ 上为向下凹

解题步骤 6

将区间 $(\frac{2}{3}, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (3) = 9 (3) \cdot e^{- 3 \cdot 3} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$f'' (3) = 27 \cdot e^{- 3 \cdot 3} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$f'' (3) = 27 \cdot e^{- 9} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

解题步骤 6.2.1.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (3) = 27 \cdot \frac{1}{e^{9}} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

解题步骤 6.2.1.4

组合 $27$ 和 $\frac{1}{e^{9}}$ 。

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

解题步骤 6.2.1.5

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 e^{- 9}$

解题步骤 6.2.1.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 \frac{1}{e^{9}}$

解题步骤 6.2.1.7

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{e^{9}}$ 。

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} + \frac{- 6}{e^{9}}$

解题步骤 6.2.1.8

将负号移到分数的前面。

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - \frac{6}{e^{9}}$

解题步骤 6.2.2

合并分数。

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解题步骤 6.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f'' (3) = \frac{27 - 6}{e^{9}}$

解题步骤 6.2.2.2

从 $27$ 中减去 $6$ 。

$f'' (3) = \frac{21}{e^{9}}$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $\frac{21}{e^{9}}$ 。

$\frac{21}{e^{9}}$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(\frac{2}{3}, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (3)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(\frac{2}{3}, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 7

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, \frac{2}{3})$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(\frac{2}{3}, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 8

微积分学 示例

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