微积分学示例

$\arctan (x)$

解题步骤 1

将 $\arctan (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = \arctan (x)$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 2.1

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

$\arctan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

解题步骤 2.1.1.2

重新排序项。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 重写为 ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.1.2.2.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.1.2.3

求微分。

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解题步骤 2.1.2.3.1

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.1.2.3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

解题步骤 2.1.2.3.4

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.3.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

解题步骤 2.1.2.3.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

解题步骤 2.1.2.4

化简。

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解题步骤 2.1.2.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

解题步骤 2.1.2.4.2

合并项。

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解题步骤 2.1.2.4.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

解题步骤 2.1.2.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

解题步骤 2.1.2.4.2.3

组合 $x$ 和 $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 。

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.4.2.4

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$f'' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 。

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2.2

将分子设为等于零。

$2 x = 0$

解题步骤 2.2.3

将 $2 x = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $2 x = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x = 0$

解题步骤 3

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 2) = - \frac{2 (- 2)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.2.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{{(4 + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{5^{2}}$

解题步骤 5.2.2.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{25}$

解题步骤 5.2.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (- 2) = \frac{4}{25}$

解题步骤 5.2.4

最终答案为 $\frac{4}{25}$ 。

$\frac{4}{25}$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- \infty, 0)$ 上向上凹，因为 $f'' (- 2)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, 0)$ 上为向上凹

解题步骤 6

将区间 $(0, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2) = - \frac{2 (2)}{{({(2)}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (2) = - \frac{4}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (2) = - \frac{4}{{(4 + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$f'' (2) = - \frac{4}{5^{2}}$

解题步骤 6.2.2.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (2) = - \frac{4}{25}$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- \frac{4}{25}$ 。

$- \frac{4}{25}$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(0, \infty)$ 上向下凹，因为 $f'' (2)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(0, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 7

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, 0)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(0, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 8

微积分学 示例

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