微积分学示例

$3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$

解题步骤 1

将 $3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$ 书写为一个函数。

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 2.1

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.1.2.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$12 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$12 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.4.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.1.4.3

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.1.5

计算 $\frac{d}{d x} [12 x]$ 。

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解题步骤 2.1.1.5.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.1.5.3

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.1.6

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.1.6.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 + 0$

解题步骤 2.1.1.6.2

将 $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$ 。

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 2.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 2.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 2.1.2.2.3

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 2.1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.3.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$36 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 2.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$36 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 2.1.2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 12$ 。

$36 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 2.1.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ 。

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解题步骤 2.1.2.4.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$36 x^{2} - 24 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 2.1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$36 x^{2} - 24 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 2.1.2.4.3

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$36 x^{2} - 24 x - 12 + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 2.1.2.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.2.5.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$36 x^{2} - 24 x - 12 + 0$

解题步骤 2.1.2.5.2

将 $36 x^{2} - 24 x - 12$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 24 x - 12$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $36 x^{2} - 24 x - 12$ 。

$36 x^{2} - 24 x - 12$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $36 x^{2} - 24 x - 12 = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$36 x^{2} - 24 x - 12 = 0$

解题步骤 2.2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $36 x^{2} - 24 x - 12$ 中分解出因数 $12$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

从 $36 x^{2}$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (3 x^{2}) - 24 x - 12 = 0$

解题步骤 2.2.2.1.2

从 $- 24 x$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 2 x) - 12 = 0$

解题步骤 2.2.2.1.3

从 $- 12$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 2 x) + 12 (- 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.4

从 $12 (3 x^{2}) + 12 (- 2 x)$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (3 x^{2} - 2 x) + 12 (- 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.5

从 $12 (3 x^{2} - 2 x) + 12 (- 1)$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.2.2.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ 并且它们的和为 $b = - 2$ 。

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解题步骤 2.2.2.2.1.1.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$12 (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.2.1.1.2

把 $- 2$ 重写为 $1$ 加 $- 3$

$12 (3 x^{2} + (1 - 3) x - 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.2.1.1.3

运用分配律。

$12 (3 x^{2} + 1 x - 3 x - 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.2.1.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$12 (3 x^{2} + x - 3 x - 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$12 ((3 x^{2} + x) - 3 x - 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$12 (x (3 x + 1) - (3 x + 1)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x + 1$ 来因式分解多项式。

$12 ((3 x + 1) (x - 1)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2.2

去掉多余的括号。

$12 (3 x + 1) (x - 1) = 0$

解题步骤 2.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.2.4

将 $3 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $3 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$3 x + 1 = 0$

解题步骤 2.2.4.2

求解 $x$ 的 $3 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.2.4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$3 x = - 1$

解题步骤 2.2.4.2.2

将 $3 x = - 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.2.4.2.2.1

将 $3 x = - 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 2.2.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.4.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 2.2.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 2.2.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.4.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{3}$

解题步骤 2.2.5

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.5.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.2.5.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.2.6

最终解为使 $12 (3 x + 1) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{1}{3}, 1$

解题步骤 3

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (- \frac{1}{3}, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - \frac{1}{3})$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 3) = 36 {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 - 12$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 3) = 36 \cdot 9 - 24 \cdot - 3 - 12$

解题步骤 5.2.1.2

将 $36$ 乘以 $9$ 。

$f'' (- 3) = 324 - 24 \cdot - 3 - 12$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 24$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (- 3) = 324 + 72 - 12$

解题步骤 5.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $324$ 和 $72$ 相加。

$f'' (- 3) = 396 - 12$

解题步骤 5.2.2.2

从 $396$ 中减去 $12$ 。

$f'' (- 3) = 384$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $384$ 。

$384$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- \infty, - \frac{1}{3})$ 上向上凹，因为 $f'' (- 3)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - \frac{1}{3})$ 上为向上凹

解题步骤 6

将区间 $(- \frac{1}{3}, 1)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 - 12$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 24 \cdot 0 - 12$

解题步骤 6.2.1.2

将 $36$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 - 24 \cdot 0 - 12$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 24$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 + 0 - 12$

解题步骤 6.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f'' (0) = 0 - 12$

解题步骤 6.2.2.2

从 $0$ 中减去 $12$ 。

$f'' (0) = - 12$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 12$ 。

$- 12$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(- \frac{1}{3}, 1)$ 上向下凹，因为 $f'' (0)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \frac{1}{3}, 1)$ 上为向下凹

解题步骤 7

将区间 $(1, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (4) = 36 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4 - 12$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (4) = 36 \cdot 16 - 24 \cdot 4 - 12$

解题步骤 7.2.1.2

将 $36$ 乘以 $16$ 。

$f'' (4) = 576 - 24 \cdot 4 - 12$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 24$ 乘以 $4$ 。

$f'' (4) = 576 - 96 - 12$

解题步骤 7.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $576$ 中减去 $96$ 。

$f'' (4) = 480 - 12$

解题步骤 7.2.2.2

从 $480$ 中减去 $12$ 。

$f'' (4) = 468$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $468$ 。

$468$

解题步骤 7.3

图像在区间 $(1, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (4)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(1, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 8

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - \frac{1}{3})$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \frac{1}{3}, 1)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(1, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 9

微积分学 示例

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