微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - x$ 且 $g (x) = x^{2} + 3 x - 4$ 。

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - x] - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1 \cdot 1) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.6

根据加法法则， $x^{2} + 3 x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.8

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.10

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.11

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 + 0)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.12

将 $2 x + 3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.1.3.1

运用分配律。

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1)$ 。

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.3

将 $- 1$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{2 x^{3} - 1 \cdot x^{2} + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.4

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.6.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.7

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.8

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.9

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 8 x - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.10

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 8 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.3

将 $- x^{2}$ 和 $6 x^{2}$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 3 x - 8 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.4

从 $- 3 x$ 中减去 $8 x$ 。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.5

乘以 $- - x$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} + 1 x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.5.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} + x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.6

使用 FOIL 方法展开 $(- x^{2} + x) (2 x + 3)$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.6.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x + 3) + x (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.6.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.6.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.7.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.7.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.7.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.7.1.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.7.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.7.1.4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.7.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x \cdot x + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.7.1.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.7.1.6.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 (x \cdot x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.7.1.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{2} + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.7.1.7

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.7.2

将 $- 3 x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2

合并 $2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} + 3 x$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.1.3.2.2.1

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$\frac{5 x^{2} - 11 x + 4 + 0 - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2.2

将 $5 x^{2} - 11 x + 4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.3

从 $5 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{4 x^{2} - 11 x + 4 + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.4

将 $- 11 x$ 和 $3 x$ 相加。

$\frac{4 x^{2} - 8 x + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.3.3.1

从 $4 x^{2} - 8 x + 4$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.3.1.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (x^{2}) - 8 x + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3.1.2

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3.1.3

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4 (1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3.1.4

从 $4 (x^{2}) + 4 (- 2 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (x^{2} - 2 x) + 4 (1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3.1.5

从 $4 (x^{2} - 2 x) + 4 (1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1.3.3.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{4 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

解题步骤 1.1.1.3.3.2.3

重写多项式。

$\frac{4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.4

化简分母。

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解题步骤 1.1.1.3.4.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 3 x - 4$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1.3.4.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 4$ ，和为 $3$ 。

$- 1, 4$

解题步骤 1.1.1.3.4.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{((x - 1) (x + 4))}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.4.2

对 $(x - 1) (x + 4)$ 运用乘积法则。

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5

约去 ${(x - 1)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.3.5.1

约去公因数。

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.2

重写表达式。

$f' (x) = \frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.2.1.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$

解题步骤 1.1.2.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1.2.1.2.1

将 $\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}$ 重写为 ${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ 。

$4 \frac{d}{d x} [{({(x + 4)}^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 1.1.2.1.2.2

将 ${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2 \cdot - 1}]$

解题步骤 1.1.2.1.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{- 2}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 2}$ 且 $g (x) = x + 4$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 4$ 。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

解题步骤 1.1.2.2.3

使用 $x + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (- 2 {(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

解题步骤 1.1.2.3

求微分。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$- 8 ({(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

解题步骤 1.1.2.3.2

根据加法法则， $x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 1.1.2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 1.1.2.3.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + 0)$

解题步骤 1.1.2.3.5

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.3.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} \cdot 1$

解题步骤 1.1.2.3.5.2

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$- 8 {(x + 4)}^{- 3}$

解题步骤 1.1.2.4

化简。

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解题步骤 1.1.2.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 8 \frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.4.2

合并项。

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解题步骤 1.1.2.4.2.1

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$ 。

$\frac{- 8}{{(x + 4)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$ 。

$- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$8 = 0$

解题步骤 1.2.3

因为 $8 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 2

求 $f (x) = \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} + 3 x - 4 = 0$

解题步骤 2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 3 x - 4$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 4$ ，和为 $3$ 。

$- 1, 4$

解题步骤 2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 1) (x + 4) = 0$

解题步骤 2.2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

解题步骤 2.2.3

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.2.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.2.4

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 2.2.4.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 2.2.5

最终解为使 $(x - 1) (x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - 4$

解题步骤 2.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 1, - 4}$

区间计数法：

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 1, - 4}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, - 4)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 6$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 6) = - \frac{8}{{((- 6) + 4)}^{3}}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简分母。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $- 6$ 和 $4$ 相加。

$f'' (- 6) = - \frac{8}{{(- 2)}^{3}}$

解题步骤 4.2.1.2

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 6) = - \frac{8}{- 8}$

解题步骤 4.2.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.1

用 $8$ 除以 $- 8$ 。

$f'' (- 6) = 1$

解题步骤 4.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (- 6) = 1$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, - 4)$ 上向上凹，因为 $f'' (- 6)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - 4)$ 上为向上凹

解题步骤 5

将区间 $(- 4, 1)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = - \frac{8}{{((0) + 4)}^{3}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简分母。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$f'' (0) = - \frac{8}{4^{3}}$

解题步骤 5.2.1.2

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0) = - \frac{8}{64}$

解题步骤 5.2.2

约去 $8$ 和 $64$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $8$ 。

$f'' (0) = - \frac{8 (1)}{64}$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1

从 $64$ 中分解出因数 $8$ 。

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}$

解题步骤 5.2.2.2.2

约去公因数。

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}$

解题步骤 5.2.2.2.3

重写表达式。

$f'' (0) = - \frac{1}{8}$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- \frac{1}{8}$ 。

$- \frac{1}{8}$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- 4, 1)$ 上向下凹，因为 $f'' (0)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- 4, 1)$ 上为向下凹

解题步骤 6

将区间 $(1, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (4) = - \frac{8}{{((4) + 4)}^{3}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分母。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$f'' (4) = - \frac{8}{8^{3}}$

解题步骤 6.2.1.2

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (4) = - \frac{8}{512}$

解题步骤 6.2.2

约去 $8$ 和 $512$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $8$ 。

$f'' (4) = - \frac{8 (1)}{512}$

解题步骤 6.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.1

从 $512$ 中分解出因数 $8$ 。

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 64}$

解题步骤 6.2.2.2.2

约去公因数。

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 64}$

解题步骤 6.2.2.2.3

重写表达式。

$f'' (4) = - \frac{1}{64}$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- \frac{1}{64}$ 。

$- \frac{1}{64}$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(1, \infty)$ 上向下凹，因为 $f'' (4)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(1, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 7

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - 4)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- 4, 1)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(1, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例