微积分学示例

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 5$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$12 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$12 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.4.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.1.4.3

将 $2$ 乘以 $- 12$ 。

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.1.5.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x + 0$

解题步骤 1.1.1.5.2

将 $12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

解题步骤 1.1.2.2.3

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

解题步骤 1.1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$36 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

解题步骤 1.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$36 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

解题步骤 1.1.2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 12$ 。

$36 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

解题步骤 1.1.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.4.1

因为 $- 24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 24 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$36 x^{2} - 24 x - 24 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$36 x^{2} - 24 x - 24 \cdot 1$

解题步骤 1.1.2.4.3

将 $- 24$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 24 x - 24$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $36 x^{2} - 24 x - 24$ 。

$36 x^{2} - 24 x - 24$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $36 x^{2} - 24 x - 24 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$36 x^{2} - 24 x - 24 = 0$

解题步骤 1.2.2

从 $36 x^{2} - 24 x - 24$ 中分解出因数 $12$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $36 x^{2}$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (3 x^{2}) - 24 x - 24 = 0$

解题步骤 1.2.2.2

从 $- 24 x$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 2 x) - 24 = 0$

解题步骤 1.2.2.3

从 $- 24$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 2 x) + 12 (- 2) = 0$

解题步骤 1.2.2.4

从 $12 (3 x^{2}) + 12 (- 2 x)$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (3 x^{2} - 2 x) + 12 (- 2) = 0$

解题步骤 1.2.2.5

从 $12 (3 x^{2} - 2 x) + 12 (- 2)$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (3 x^{2} - 2 x - 2) = 0$

解题步骤 1.2.3

将 $12 (3 x^{2} - 2 x - 2) = 0$ 中的每一项除以 $12$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $12 (3 x^{2} - 2 x - 2) = 0$ 中的每一项都除以 $12$ 。

$\frac{12 (3 x^{2} - 2 x - 2)}{12} = \frac{0}{12}$

解题步骤 1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{12 (3 x^{2} - 2 x - 2)}{12} = \frac{0}{12}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

用 $3 x^{2} - 2 x - 2$ 除以 $1$ 。

$3 x^{2} - 2 x - 2 = \frac{0}{12}$

解题步骤 1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.3.1

用 $0$ 除以 $12$ 。

$3 x^{2} - 2 x - 2 = 0$

解题步骤 1.2.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 1.2.5

将 $a = 3$ 、 $b = - 2$ 和 $c = - 2$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 2)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.6

化简。

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解题步骤 1.2.6.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.6.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 1.2.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.6.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.6.1.3

将 $4$ 和 $24$ 相加。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.6.1.4

将 $28$ 重写为 $2^{2} \cdot 7$ 。

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解题步骤 1.2.6.1.4.1

从 $28$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

解题步骤 1.2.6.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 1.2.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 1.2.7.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.7.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 1.2.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.7.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.7.1.3

将 $4$ 和 $24$ 相加。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.7.1.4

将 $28$ 重写为 $2^{2} \cdot 7$ 。

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解题步骤 1.2.7.1.4.1

从 $28$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.7.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.7.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.7.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

解题步骤 1.2.7.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 1.2.7.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{1 + \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 1.2.8

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 1.2.8.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.8.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.8.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 1.2.8.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.8.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.8.1.3

将 $4$ 和 $24$ 相加。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.8.1.4

将 $28$ 重写为 $2^{2} \cdot 7$ 。

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解题步骤 1.2.8.1.4.1

从 $28$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.8.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.8.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.2.8.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

解题步骤 1.2.8.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 1.2.8.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{1 - \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 1.2.9

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{1 + \sqrt{7}}{3}, \frac{1 - \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, \frac{1 - \sqrt{7}}{3}) \cup (\frac{1 - \sqrt{7}}{3}, \frac{1 + \sqrt{7}}{3}) \cup (\frac{1 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{7}}{3})$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 3) = 36 {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 - 24$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 3) = 36 \cdot 9 - 24 \cdot - 3 - 24$

解题步骤 4.2.1.2

将 $36$ 乘以 $9$ 。

$f'' (- 3) = 324 - 24 \cdot - 3 - 24$

解题步骤 4.2.1.3

将 $- 24$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (- 3) = 324 + 72 - 24$

解题步骤 4.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $324$ 和 $72$ 相加。

$f'' (- 3) = 396 - 24$

解题步骤 4.2.2.2

从 $396$ 中减去 $24$ 。

$f'' (- 3) = 372$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $372$ 。

$372$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{7}}{3})$ 上向上凹，因为 $f'' (- 3)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{7}}{3})$ 上为向上凹

解题步骤 5

将区间 $(\frac{1 - \sqrt{7}}{3}, \frac{1 + \sqrt{7}}{3})$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 - 24$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 24 \cdot 0 - 24$

解题步骤 5.2.1.2

将 $36$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 - 24 \cdot 0 - 24$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 24$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 + 0 - 24$

解题步骤 5.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f'' (0) = 0 - 24$

解题步骤 5.2.2.2

从 $0$ 中减去 $24$ 。

$f'' (0) = - 24$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 24$ 。

$- 24$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(\frac{1 - \sqrt{7}}{3}, \frac{1 + \sqrt{7}}{3})$ 上向下凹，因为 $f'' (0)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(\frac{1 - \sqrt{7}}{3}, \frac{1 + \sqrt{7}}{3})$ 上为向下凹

解题步骤 6

将区间 $(\frac{1 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (4) = 36 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4 - 24$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (4) = 36 \cdot 16 - 24 \cdot 4 - 24$

解题步骤 6.2.1.2

将 $36$ 乘以 $16$ 。

$f'' (4) = 576 - 24 \cdot 4 - 24$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 24$ 乘以 $4$ 。

$f'' (4) = 576 - 96 - 24$

解题步骤 6.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $576$ 中减去 $96$ 。

$f'' (4) = 480 - 24$

解题步骤 6.2.2.2

从 $480$ 中减去 $24$ 。

$f'' (4) = 456$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $456$ 。

$456$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(\frac{1 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (4)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(\frac{1 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 7

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{7}}{3})$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(\frac{1 - \sqrt{7}}{3}, \frac{1 + \sqrt{7}}{3})$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(\frac{1 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 8

微积分学 示例

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