微积分学示例

$f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} - 36 x$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $2 x^{3} - 15 x^{2} - 36 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 15 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$6 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 x^{2} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 15$ 。

$6 x^{2} - 30 x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

解题步骤 1.1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ 。

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解题步骤 1.1.1.4.1

因为 $- 36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 36 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 x^{2} - 30 x - 36 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 x^{2} - 30 x - 36 \cdot 1$

解题步骤 1.1.1.4.3

将 $- 36$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x - 36$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $6 x^{2} - 30 x - 36$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

解题步骤 1.1.2.2.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$12 x + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

解题步骤 1.1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 30 x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.1

因为 $- 30$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 30 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 30 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 x - 30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

解题步骤 1.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 x - 30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 36]$

解题步骤 1.1.2.3.3

将 $- 30$ 乘以 $1$ 。

$12 x - 30 + \frac{d}{d x} [- 36]$

解题步骤 1.1.2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.2.4.1

因为 $- 36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 36$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 x - 30 + 0$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $12 x - 30$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 12 x - 30$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $12 x - 30$ 。

$12 x - 30$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $12 x - 30 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$12 x - 30 = 0$

解题步骤 1.2.2

在等式两边都加上 $30$ 。

$12 x = 30$

解题步骤 1.2.3

将 $12 x = 30$ 中的每一项除以 $12$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $12 x = 30$ 中的每一项都除以 $12$ 。

$\frac{12 x}{12} = \frac{30}{12}$

解题步骤 1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{12 x}{12} = \frac{30}{12}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{30}{12}$

解题步骤 1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.3.1

约去 $30$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.3.1.1

从 $30$ 中分解出因数 $6$ 。

$x = \frac{6 (5)}{12}$

解题步骤 1.2.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.3.1.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $6$ 。

$x = \frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.3.3.1.2.2

约去公因数。

$x = \frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.3.3.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{5}{2}$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, \frac{5}{2})$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = 12 (0) - 30$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 - 30$

解题步骤 4.2.2

从 $0$ 中减去 $30$ 。

$f'' (0) = - 30$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $- 30$ 。

$- 30$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, \frac{5}{2})$ 上向下凹，因为 $f'' (0)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, \frac{5}{2})$ 上为向下凹

解题步骤 5

将区间 $(\frac{5}{2}, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (5) = 12 (5) - 30$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

将 $12$ 乘以 $5$ 。

$f'' (5) = 60 - 30$

解题步骤 5.2.2

从 $60$ 中减去 $30$ 。

$f'' (5) = 30$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $30$ 。

$30$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(\frac{5}{2}, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (5)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(\frac{5}{2}, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 6

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, \frac{5}{2})$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(\frac{5}{2}, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 7

微积分学 示例

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